《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册北师大版》

9. 如图,已知 $A$,$B$ 两村庄的坐标分别为 $(2,2)$,$(7,4)$,一辆汽车从原点 $O$ 出发在 $x$ 轴上行驶。
(1) 汽车行驶到什么位置时离 $A$ 村最近？写出这点的坐标。
(2) 汽车行驶到什么位置时离 $B$ 村最近？写出这点的坐标。
(3) 汽车行驶到什么位置时,到两村距离的和最短？请在图中画出这个位置,并求此时汽车到两村距离的和。

答案：
解:
(1)在x轴上离A村最近的点是过点A所作的x轴的垂线的垂足,即点(2,0)。
(2)同
(1),离B村最近的点是(7,0)。
(3)如图,作点A关于x轴对称的点C,连接BC,交x轴于点D。汽车行驶到点D时,到两村距离的和最短。最短距离就是线段BC的长。

点A关于x轴对称的点C的坐标是(2,-2)。
过点B作y轴的平行线BF,过点C作x轴的平行线CF与BF相交于点F。
则△BCF为直角三角形,其中BF = 4 + 2 = 6,CF = 7 - 2 = 5。
所以BC = √(6² + 5²)=√61。
所以此时汽车到两村距离的和为√61。