《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册北师大版》

12. 公元前5世纪,古希腊毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯发现,一些数不能用整数或整数之比来表示,如边长为1的正方形的对角线的长就无法用整数或整数之比来表示。这一发现与毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条大相径庭。这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条,引起了信徒们的恐慌。据说,希帕索斯为此被投入了大海。
希帕索斯的发现,第一次向人们揭示了有理数的缺陷,证明它不能同连续的无限直线同等看待,有理数并没有布满数轴上的点,在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”,这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。15世纪意大利著名画家达·芬奇称之为“无理的数”,17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。然而,真理毕竟是湮没不了的,毕达哥拉斯学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希帕索斯这位为真理而献身的可敬学者,就把不能写成分数形式的数取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来。
同学们,你们能发现身边的无理数吗？
如图,在下面的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点都叫作格点,以格点为顶点,分别按下列要求画三角形。
(1)在图①中,画出一个三角形,使它的三边长都是有理数；
(2)在图②中,画出一个直角三角形,使它的三边长都是无理数；
(3)在图③中,画出一个正方形,使它的面积为10。

答案：

(1)如图①所示(画法不唯一):
(2)如图②所示(答案不唯一):
(3)如图③所示(画法不唯一):