《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册北师大版》

$6. $若两个最简二次根式$\sqrt{3x - 1}$与$\sqrt{5x - 3}$能够合并$,$则$x$的值为$($　　$$B$)。$　　

A.0.5
B.1
C.2
D.2.5

答案： B

$7. $若$y= \sqrt{x - 3}+\sqrt{3 - x}+1,$则\sqrt{x + y}=2。

答案： 2

$8. $计算$:$　　
$ (1) \sqrt{50}+\sqrt{8}; $　　
$ (2) \sqrt{\dfrac{1}{3}}-\sqrt{27}; $　　
$ (3) \left(\sqrt{\dfrac{3}{2}}-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)× \sqrt{6}。$　　

答案：
(1)$7\sqrt{2}$
(2)$-\frac{8\sqrt{3}}{3}$
(3)1

$9. $爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时$,$发现一些二次根式的被开方数是二次三项式$,$而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构$,$于是就可以利用二次根式的性质$:\sqrt{a^{2}}= \vert a\vert=\begin{cases}a(a\geqslant 0),\\ -a(a＜0)\end{cases} $来进一步化简。　　
比如$:\sqrt{x^{2}+2x + 1}= \sqrt{(x + 1)^{2}}= \vert x + 1\vert,$　　
所以当$x + 1\geqslant 0,$即$x\geqslant - 1$时$,$原式$= x + 1;$当$x + 1＜0,$即$x＜-1$时$,$原式$= -x - 1。$　　
$(1) $仿照上面的例子$,$请你尝试化简$\sqrt{m^{2}-m+\dfrac{1}{4}}。$　　
$(2) $判断甲、乙两人在解决问题$“$若$a = 9,$求$a+\sqrt{1 - 2a + a^{2}}$的值$”$时谁的答案正确$,$并说明理由。　　
甲的答案$:$原式$= a+\sqrt{(1 - a)^{2}}= a+(1 - a)= 1;$　　
乙的答案$:$原式$= a+\sqrt{(1 - a)^{2}}= a+(a - 1)= 2a - 1= 2× 9 - 1= 17。$　　
$(3) $化简并求值$:\vert x - 1\vert+\sqrt{4 - 4x + x^{2}},$其中$x= \sqrt{5}。$　　

答案： 解:
(1)因为$\sqrt{m^{2}-m+\frac{1}{4}}=\sqrt{(m-\frac{1}{2})^{2}}=\left| m-\frac{1}{2} \right|$,所以当$m\geq\frac{1}{2}$时,原式$=\left| m-\frac{1}{2} \right|=m-\frac{1}{2}$;当$m＜\frac{1}{2}$时,原式$=\left| m-\frac{1}{2} \right|=\frac{1}{2}-m$。
(2)乙的答案正确。理由:因为$\sqrt{1-2a+a^{2}}=\sqrt{(1-a)^{2}}=\left| 1-a \right|$,$a=9$,所以$1-a＜0$。所以$\left| 1-a \right|=a-1$。故乙的答案正确。
(3)原式$=\left| x-1 \right|+\sqrt{(2-x)^{2}}=\left| x-1 \right|+\left| 2-x \right|$。因为$1＜2＜x$,所以原式$=\left| x-1 \right|+\left| 2-x \right|=x-1+x-2=2x-3=2\sqrt{5}-3$。