《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

4. 先化简，再求值：
(1) $(2 + a)(2 - a)+a(a + 1)$，其中 $a = \sqrt{2}-4$。
(2) $(2x - 1)^{2}-(2x + 1)(2x - 1)$，其中 $x = 2$。
(3) (2024·甘肃) $[(2a + b)^{2}-(2a + b)(2a - b)]÷(2b)$，其中 $a = 2$，$b = -1$。

答案： 4.解:
(1)原式=4-a²+a²+a=4+a.当a=√2-4时,原式=4+√2-4=√2.
(2)原式=4x²-4x+1-4x²+1=-4x+2.当x=2时,原式=-4×2+2=-6.
(3)原式=[4a²+4ab+b²-(4a²-b²)]÷(2b)=(4a²+4ab+b²-4a²+b²)÷(2b)=(4ab+2b²)÷(2b)=2a+b.当a=2,b=-1时,原式=2×2+(-1)=3.

5. (1) (2024·西宁)先化简，再求值：$(3a - 1)^{2}-2a(4a - 1)$，其中 $a$ 满足 $a^{2}-4a + 3 = 0$。
(2) 已知实数 $x$ 满足 $x^{2}-4x - 1 = 0$，求 $(2x - 3)^{2}-(x + y)(x - y)-y^{2}$ 的值。

答案： 5.解:
(1)原式=9a²-6a+1-8a²+2a=(9a²-8a²)+(-6a+2a)+1=a²-4a+1.
(2)原式=4x²-12x+9-x²+y²-4y²=3x²-12x+9-3y².
∵x²-4x-1=0,
∴x²-4x=1.
∴原式=3(x²-4x)+9-3y²=3×1+9-3y²=12-3y².

6. 已知 $|m - 1|+\sqrt{n + 2}=0$。
(1) 求 $m$，$n$ 的值。
(2) 先化简，再求值：$m(m - 3n)+(m + 2n)^{2}-4n^{2}$。

答案： 6.解:
(1)
∵|m-1|+√(n+2)=0,
∴m-1=0,n+2=0,解得m=1,n=-2.
(2)原式=m²-3mn+m²+4mn+4n²-4n²=2m²+mn.当m=1,n=-2时,原式=2×1²+1×(-2)=0.

7. 试说明：式子 $(a + 1)(a - 1)+a(1 - a)-a$ 的值与 $a$ 的取值无关。

答案： 7.解:原式=a²-1+a²-a²+a-1=a²+a-2.
∵该式子的值与a的取值无关,
∴a²+a-2的值与a无关,即a²+a的系数为0,
∴1=0且1=0,矛盾,所以题目可能存在错误。

8. 发现：两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和。
验证：如 $(2 + 1)^{2}+(2 - 1)^{2}=10$ 为偶数，请把 10 的一半表示为两个正整数的平方和。
探究：设“发现”中的这两个正整数为 $m$，$n$，请验证“发现”中的结论。

答案： 8.解:验证:10的一半为5,5=1+4=1²+2².探究:(m+n)²+(m-n)²=m²+2mn+n²+m²-2mn+n²=2m²+2n²=2(m²+n²).故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和.