《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠BAC=108^{\circ },AB=AC,$BD 平分$∠ABC$,交 AC 于点 D. 求证:$BC=$$AB+CD.$

答案： 4. 证明:(方法一:截长法)在 BC 上取点 E,使 BE=BA,连接 DE.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD.在△ABD 和△EBD 中,$\left\{\begin{array}{l} AB=EB,\\ ∠ABD=∠EBD,\\ BD=BD,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△EBD(SAS).
∴∠BAC=∠BED=108°.
∴∠DEC=72°.
∵AB=AC,∠BAC=108°,
∴∠C=∠ABC=36°.
∴∠CDE=72°.
∴∠CDE=∠CED.
∴CD=CE.
∴BC=BE+EC=AB+CD.(方法二:补短法)延长 BA 至点 F,使 BF=BC,连接 DF.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠CBD=∠FBD.在△FBD 和△CBD 中,$\left\{\begin{array}{l} FB=CB,\\ ∠FBD=∠CBD,\\ BD=BD,\end{array}\right. $
∴△FBD≌△CBD(SAS).
∴DF=DC,∠F=∠C.
∵AB=AC,∠BAC=108°,
∴∠C=∠ABC=36°,∠FAD=72°.
∴∠F=36°.
∴∠FDA=72°.
∴∠FDA=∠FAD.
∴FA=FD.
∴CD=DF=AF.
∴BC=BF=AB+AF=AB+CD.

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠B$是锐角，$AD⊥BC$于点 D,且$∠B=2∠C,AB=3.5,BD=1$,求 DC的长.
小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程,过程如下:
解:如图 1,在线段 DC 上取一点 E,使$DE=$$DB$,连接 AE.
$\because AD⊥BC,DE=DB,$
$\therefore AD$垂直平分 BE.
$\therefore AB=AE$(依据 1).
$\therefore ∠B=∠AEB$(依据 2).
$\because ∠B=2∠C,\therefore ∠AEB=2∠C.$
又$\because ∠AEB=∠EAC+∠C,$
$\therefore ∠EAC+∠C=2∠C.$
$\therefore ∠EAC=∠C.\therefore AE=CE$(依据 3).
$\therefore AE=CE=AB.$
$\therefore DC=DE+CE=BD+AB=1+3.5=4.5.$
(1)上述解题过程中的“依据 1”“依据 2”“依据3”分别指的是什么？
依据 1:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
依据 2:等边对等角.
依据 3:等角对等边.
(2)看完小亮的解题过程,小创提出了自己的想法:
解:如图 2,延长 DB 到点 E,使$BE=AB,$连接 AE.
……
请根据小亮的思路写出完整的解题过程.

答案： 5. 解:
(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 等边对等角 等角对等边
(2)
∵EB=AB,
∴∠E=∠EAB.
∴∠ABD=∠E+∠EAB=2∠E.
∵EB=BD,
∴∠E=∠EDB.
∵∠ABC=∠EDB+∠CBD=∠E+∠CBD.
∵AE=AC.
∴∠E=∠ACE.
∵∠E+∠EAC=∠ACE+∠ECD=∠ACD=∠ABC+∠A=∠ABC+∠E.
∴∠EAC=∠ABC=∠E+∠CBD.
∵∠EAC=2∠E,
∴2∠E=∠E+∠CBD.
∴∠E=∠CBD.
∵∠ABC=∠E+∠CBD=∠E+∠E=2∠E.
∵∠A=∠EAC=2∠E,∠ACB=∠ECD+∠ACE=∠E+∠E=2∠E.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴2∠E+2∠E+2∠E=180°.
∴∠E=30°.
∴∠A=2∠E=60°.