《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

8. 用尺规作一个角等于已知角：如图，已知$\angle AOB$，求作$\angle DEF$，使$\angle DEF=\angle AOB$.可以通过以下步骤作图：


①作射线$EG$；
②以点$E$为圆心，以$OP$的长为半径画弧交$EG$于点$D$；
③以点$O$为圆心，任意长为半径画弧，交$OA$于点$P$，交$OB$于点$Q$；
④作射线$EF$，$\angle DEF$即为所求作的角；
⑤以点$D$为圆心，以$PQ$的长为半径画弧交前面的弧于点$F$.
则下列排序正确的是(B)

A.①②③④⑤
B.①③②⑤④
C.①②③⑤④
D.①⑤②③④

答案： B

9. (2024·常州)如图，在纸上画有$\angle AOB$，将两把直尺按如图所示的方式摆放，直尺边缘的交点$P$在$\angle AOB$的平分线上，则(A)

A.$d_{1}$与$d_{2}$一定相等
B.$d_{1}$与$d_{2}$一定不相等
C.$l_{1}$与$l_{2}$一定相等
D.$l_{1}$与$l_{2}$一定不相等

答案： A

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle CAB$和$\angle CBA$的平分线相交于点$P$，连接$PA$，$PB$，$PC$.若$\triangle PAB$，$\triangle PBC$，$\triangle PAC$的面积分别为$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，则(A)

A.$S_{1}\lt S_{2}+S_{3}$
B.$S_{1}=S_{2}+S_{3}$
C.$S_{1}\gt S_{2}+S_{3}$
D.无法确定$S_{1}$与$S_{2}+S_{3}$的大小关系

答案： A

11. 综合与探究
如图1，$AB=9\ cm$，$AC\perp AB$，$BD\perp AB$，垂足分别为$A$，$B$，$AC=7\ cm$，点$P$在线段$AB$上以$2\ cm/s$的速度由点$A$向点$B$运动，同时点$Q$从点$B$出发，沿射线$BD$的方向运动.它们运动的时间为$t\ s$（当点$P$停止运动时，点$Q$随之停止运动）.
(1)若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度相等，当$t=1$时，判断$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$是否全等，并判断此时线段$PC$与线段$PQ$的位置关系，请分别说明理由.
(2)如图2，若将“$AC\perp AB$，$BD\perp AB$”改为“$\angle A=\angle B$”，点$Q$的运动速度为$x\ cm/s$，其他条件不变，当$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$全等时，求出相应的$x$的值.

答案： 11.解:
(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.理由:
∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴∠A=∠B=90°.
∵t=1,
∴AP=BQ=2 cm.
∴BP=7 cm.
∴BP=AC.在△ACP和△BPQ中,{AP=BQ,∠A=∠B,AC=BP,
∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∴∠C=∠BPQ.
∵∠C+∠APC=90°,
∴∠BPQ+∠APC=90°.
∴∠CPQ=90°.
∴PC⊥PQ.
(2)①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ.
∴7=9-2t,2t=xt,解得x=2,t=1;②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP.
∴7=xt,2t=9-2t,解得x=28/9,t=9/4.综上所述,当△ACP与△BPQ全等时,x的值为2或28/9.