《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

4. (2024·广元) 先化简，再求值：$\frac{a}{a - b} ÷ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} - \frac{a - b}{a + b}$，其中 $a,b$ 满足 $b - 2a = 0$.

答案： 4.解:原式$=\frac {a}{a-b}\cdot \frac {(a-b)^{2}}{(a+b)(a-b)}-\frac {a-b}{a+b}=\frac {a}{a+b}-\frac {a-b}{a+b}=\frac {b}{a+b}$.$\because b-2a=0,\therefore b=2a$.$\therefore$原式$=\frac {2a}{a+2a}=\frac {2}{3}.$

5. 先化简，再求值：$(\frac{y - x}{x + y})^2 \cdot \frac{x + y}{x^2 - 4xy + 4y^2} ÷ (\frac{x - y}{x - 2y})^2$，其中 $|x - 4| + (y - 9)^2 = 0$.

答案： 5.解:原式$=\frac {(x-y)^{2}}{(x+y)^{2}}\cdot \frac {x+y}{(x-2y)^{2}}÷(\frac {x-y}{x-2y})^{2}=\frac {(x-y)^{2}}{(x+y)^{2}}\cdot \frac {x+y}{(x-2y)^{2}}\cdot \frac {(x-2y)^{2}}{(x-y)^{2}}=\frac {1}{x+y}$.$\because |x-4|+(y-9)^{2}=0,\therefore x-4=0,y-9=0,\therefore x=4,y=9$.$\therefore$原式$=\frac {1}{4+9}=\frac {1}{13}.$

6. (2024·广安) 先化简：$(a + 1 - \frac{3}{a - 1}) ÷ \frac{a^2 + 4a + 4}{a - 1}$，再从 $-2,0,1,2$ 中选取一个适合的数代入求值.

答案： 6.解:原式$=(\frac {a^{2}-1}{a-1}-\frac {a-1}{a-1})\cdot \frac {a-1}{a^{2}+4a+4}=\frac {a^{2}-a}{a-1}\cdot \frac {a-1}{(a+2)^{2}}=\frac {a(a-1)}{a-1}\cdot \frac {a-1}{(a+2)^{2}}=\frac {a(a-1)}{(a+2)^{2}}$.由题意,得$a≠1$且$a≠-2$.当$a=0$时,原式$=\frac {0×(0-1)}{(0+2)^{2}}=0$;当$a=2$时,原式$=\frac {2×(2-1)}{(2+2)^{2}}=\frac {2×1}{16}=\frac {1}{8}.$

7. (2023·烟台) 先化简，再求值：$\frac{a^2 - 6a + 9}{a - 2} ÷ (a + 2 + \frac{5}{2 - a})$，其中 $a$ 是使不等式 $\frac{a - 1}{2} \leq 1$ 成立的正整数.

答案： 7.解:原式$=\frac {a-3}{(a-2)^{2}}÷\frac {4-a^{2}}{a^{2}+5}=\frac {a-3}{(a-2)^{2}}\cdot \frac {(3-a)(3+a)}{(a-3)(a+3)}=\frac {a-3}{(a-2)^{2}}\cdot \frac {-(a-3)(a+3)}{(a-3)(a+3)}=-\frac {a-3}{(a-2)^{2}}$.解$\frac {a-1}{2}≤1$,得$a≤3$.$\because a$是使不等式$\frac {a-1}{2}≤1$成立的正整数,且$a-2≠0,a-3≠0,a+3≠0,\therefore a≠2,3,-3$.$\therefore a=1$.$\therefore$原式$=-\frac {1-3}{(1-2)^{2}}=-\frac {-2}{1}=2$.

8. 先化简，再求值：$(\frac{9}{m + 3} + m - 3) ÷ \frac{m^3 - 2m^2}{m^2 - 4m + 4}$，其中 $m$ 是两边长分别为 $2$ 和 $3$ 的三角形第三边的长，且 $m$ 是整数.

答案： 8.解:原式$=\frac {9+(m+3)(m-3)}{m+3}÷\frac {m^{2}(m-2)}{(m-2)^{2}}=\frac {9+m^{2}-9}{m+3}\cdot \frac {(m-2)^{2}}{m^{2}(m-2)}=\frac {m^{2}}{m+3}\cdot \frac {m-2}{m^{2}}=\frac {m-2}{m+3}$.$\because m$是两边长分别为2和3的三角形第三边的长,$\therefore 3-2＜m＜3+2$,即$1＜m＜5$.$\because m$为整数,$\therefore m=2$或$m=3$或$m=4$.由分式有意义的条件可知,$m≠-3$且$m≠0$且$m≠2$.$\therefore m=3$或$m=4$.当$m=3$时,原式$=\frac {3-2}{3+3}=\frac {1}{6}$;当$m=4$时,原式$=\frac {4-2}{4+3}=\frac {2}{7}$.