《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

1. 计算：
(1) $a \cdot a^{4} =$$a^{5}$.
(2) $(a^{5})^{2} =$$a^{10}$.
(3) $(-a^{4})^{3} =$$-a^{12}$.
(4) $(2y^{2})^{3} =$$8y^{6}$.
(5) $(-a^{2}b^{3}c)^{3} =$$-a^{6}b^{5}c^{3}$.
(6) $(a^{2})^{3} \cdot a^{4} =$$a^{10}$.
(7) $(\frac{1}{2}x) \cdot (\frac{1}{2}x)^{2} \cdot (\frac{1}{2}x)^{3} =$$\frac {1}{64}x^{6}$.
(8) $-(a^{m})^{5} \cdot a^{n} =$$-a^{m+n}$.
(9) $(-2a^{3}b)^{2} - 3a^{6}b^{2} =$$a^{4}b^{2}$.
(10) $[(-2a^{2}b^{4})^{3}]^{2} =$$64a^{12}b^{84}$.

答案： 1.
(1)$a^{5}$
(2)$a^{10}$
(3)$-a^{12}$
(4)$8y^{6}$
(5)$-a^{6}b^{5}c^{3}$
(6)$a^{10}$
(7)$\frac {1}{64}x^{6}$
(8)$-a^{m+n}$
(9)$a^{4}b^{2}$
(10)$64a^{12}b^{84}$

2. 计算：
(1) $(2x^{2})^{3} - x^{2} \cdot x^{4}$.
(2) $a \cdot a^{2} \cdot a^{3} + (a^{3})^{2} - (2a^{2})^{3}$.
(3) $[(a^{2})^{3} + (2a^{3})^{2}]^{2}$.
(4) $(n - m)^{2} \cdot (m - n)^{3} \cdot [(n - m)^{5}]^{4}$.

答案：
(1)
首先，根据幂的乘方运算法则 $(ab)^n=a^nb^n$以及$(a^m)^n = a^{mn}$，计算$(2x^{2})^{3}$：
$(2x^{2})^{3}=2^{3}×(x^{2})^{3}=8x^{6}$
然后，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算$x^{2}\cdot x^{4}$：
$x^{2}\cdot x^{4}=x^{2 + 4}=x^{6}$
最后，计算差：
$(2x^{2})^{3}-x^{2}\cdot x^{4}=8x^{6}-x^{6}=7x^{6}$
(2)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算$a\cdot a^{2}\cdot a^{3}$：
$a\cdot a^{2}\cdot a^{3}=a^{1 + 2+3}=a^{6}$
根据幂的乘方运算法则计算$(a^{3})^{2}$：
$(a^{3})^{2}=a^{3×2}=a^{6}$
根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$计算$(2a^{2})^{3}$：
$(2a^{2})^{3}=2^{3}×(a^{2})^{3}=8a^{6}$
则$a\cdot a^{2}\cdot a^{3}+(a^{3})^{2}-(2a^{2})^{3}=a^{6}+a^{6}-8a^{6}=-6a^{6}$
(3)
先分别计算中括号内各项：
根据幂的乘方运算法则$(a^{2})^{3}=a^{2×3}=a^{6}$，$(2a^{3})^{2}=2^{2}×(a^{3})^{2}=4a^{6}$
则中括号内的值为：
$(a^{2})^{3}+(2a^{3})^{2}=a^{6}+4a^{6}=5a^{6}$
再根据积的乘方运算法则计算$[(a^{2})^{3}+(2a^{3})^{2}]^{2}=(5a^{6})^{2}=5^{2}×(a^{6})^{2}=25a^{12}$
(4)
因为$(n - m)^{2}=[-(m - n)]^{2}=(m - n)^{2}$，$[(n - m)^{5}]^{4}=(m - n)^{5×4}=(m - n)^{20}$
则原式可化为：
$(m - n)^{2}\cdot(m - n)^{3}\cdot(m - n)^{20}$
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加：
$(m - n)^{2}\cdot(m - n)^{3}\cdot(m - n)^{20}=(m - n)^{2 + 3+20}=(m - n)^{25}$
综上，答案依次为：
(1)$7x^{6}$；
(2)$-6a^{6}$；
(3)$25a^{12}$；
(4)$(m - n)^{25}$。

3. 计算：$(-\frac{5}{4})^{2024} × 0.8^{2025} =$0.8.

答案： 3.0.8

4. 已知 $2^{a} = m$，$2^{b} = n$，$3^{a} = p$（$a$，$b$ 都是正整数），用含 $m$，$n$ 或 $p$ 的式子表示下列各式：
(1) $6^{a}$.
(2) $4^{a + b}$.

答案：
(1)
已知$2^{a}=m$，$3^{a}=p$，
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，对于$6^{a}=(2×3)^{a}$，有：
$6^{a}=(2×3)^{a}=2^{a}×3^{a}=mp$。
(2)
已知$2^{a}=m$，$2^{b}=n$，
根据同底数幂乘法法则$a^{m+n}=a^m× a^n$，可得$2^{a + b}=2^{a}×2^{b}=mn$。
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，对于$4^{a + b}=(2^2)^{a + b}$，有：
$4^{a + b}=(2^{2})^{a + b}=2^{2(a + b)}=(2^{a + b})^2=(mn)^2=m^{2}n^{2}$。
综上，答案依次为：
(1)$mp$；
(2)$m^{2}n^{2}$。

5. 求下列各式中 $x$ 的值：
(1) $2^{x + 1} \cdot 5^{x + 1} = 100^{x}$.
(2) $3^{2x + 2} - 3^{2x + 1} = 486$.

答案：
(1)
由 $2^{x + 1} \cdot 5^{x + 1} = 100^{x}$，
根据积的乘方公式，得 $(2 × 5)^{x + 1} = 100^{x}$，
即 $10^{x + 1} = 10^{2x}$，
由于底数相同，比较指数得 $x + 1 = 2x$，
解得 $x = 1$。
(2)
由 $3^{2x + 2} - 3^{2x + 1} = 486$，
根据同底数幂的乘法公式，得 $3^{2x} × 3^{2} - 3^{2x} × 3 = 486$，
即 $9 × 3^{2x} - 3 × 3^{2x} = 486$，
合并同类项得 $6 × 3^{2x} = 486$，
进一步得 $3^{2x} = 81$，
由于 $3^{4} = 81$，比较指数得 $2x = 4$，
解得 $x = 2$。

6. 湖南师大附中校本经典题 小王说：“$81^{4} - 27^{5} - 9^{7}$ 是 $5$ 的倍数。”你赞成他的说法吗？为什么？

答案： 6.解:赞成.理由:$81^{4}-27^{5}-9^{7}=(3^{4})^{4}-(3^{3})^{5}-(3^{2})^{7}=3^{16}-3^{15}-3^{14}=3^{14}×(3^{2}-3-1)=3^{14}×5.\therefore 81^{4}-27^{5}-9^{7}$是5的倍数.