《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

12. 新考向 真实情境 如图，这是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置$OP_{1}$，$OP_{2}$与吊绳的夹角分别是$30^{\circ}$和$70^{\circ}$，则吊杆前后两次的夹角$\angle P_{1}OP_{2} =$(C)

A.$60^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： C

13. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 40^{\circ}$，$\angle ACD = 76^{\circ}$，$BE$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\triangle ABC$的外角$\angle ACD$，则$\angle E =$18°.

答案： 18°

14. 石家庄外国语校本经典题 如图，在$\triangle ABC$中，$D$为$AC$延长线上一点，$E$为边$AB$上一点，连接$DE$交$BC$于点$F$.已知$\angle BCD = 92^{\circ}$，$\angle A = 27^{\circ}$，$\angle BED = 44^{\circ}$，求$\angle BFD$的度数.

答案： 解：
∵∠BCD=92°，∠A=27°，∠BCD是△ABC的外角，
∴∠BCD=∠A+∠B.
∴∠B=∠BCD-∠A=65°.
∵∠BFD是△EFB的外角，
∴∠BFD=∠B+∠BED=65°+44°=109°.

15. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB ＞ \angle B$，$AD$平分$\angle BAC$，$P$为线段$AD$上的任意一点，$EP \perp AD$交直线$BC$于点$E$.
(1)若$\angle B = 36^{\circ}$，$\angle ACB = 78^{\circ}$，则$\angle E =$21°.
(2)当点$P$在线段$AD$上运动时，求证：$\angle E = \frac{1}{2}(\angle ACB - \angle B)$.

答案： 解：
(1)21°
(2)证明：
∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠BAC=180°-(∠B+∠ACB).
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$(∠B+∠ACB).
∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+90°-$\frac{1}{2}$(∠B+∠ACB)=90°-$\frac{1}{2}$(∠ACB-∠B).
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°.
∴∠ADC+∠E=90°.
∴∠E=90°-∠ADC=$\frac{1}{2}$(∠ACB-∠B).

微专题1 运用“飞镖形”“8字形”求角度
以题明法
常用的两个基本图形公式：
飞镖形结论：如图1，$\angle BOC = \angle BAC + \angle B + \angle C$.
推理过程：如图1，连接$AO$并延长至点$D$.
$\because \angle BOD = \angle B +$∠BAD，$\angle COD = \angle C +$∠CAD，$\therefore \angle BOC = \angle BOD + \angle COD =$∠BAC+∠B+∠C.
还可以延长$BO$交$AC$于点$E$得出此结论，试试看吧！
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8字形结论：如图2，$\angle A + \angle B = \angle C + \angle D$.
推理过程：如图2，$\because \angle AOC = \angle A +$∠B，$\angle AOC = \angle C +$∠D，$\therefore \angle A +$∠B$= \angle C +$∠D.
还可以根据$\angle A + \angle B + \angle AOB = \angle C + \angle D = \angle COD$得出此结论，试试看吧！

答案： ∠BAD ∠CAD ∠BAC+∠B+∠C ∠B ∠D ∠B ∠D

1. 如图，$AB$，$CD$相交于点$O$，连接$AD$，$BC$.若$\angle A = 43^{\circ}$，$\angle D = 57^{\circ}$，$\angle C = 37^{\circ}$，则$\angle B$的度数为63°.

答案： 63°

2. 如图，$CE$平分$\angle ACD$，交$AB$于点$E$.若$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle BDC = 110^{\circ}$，则$\angle BEC$的度数为60°.

答案： 60°

3. 人大附中校本经典题 如图，$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E =$180°.

答案： 180°