《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

6. 人大附中校本经典题 如图，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$的中点，$CD\perp AB$，垂足为$D$，$BE\perp AC$，垂足为$E$，$CD$与$BE$相交于点$F$.
（1）求证：$AC = AB$.
（2）猜想$CF$与$DF$的数量关系，并证明.

答案： 解：
(1)证明：连接BC.
∵D是AB的中点，CD是线段AB的垂直平分线.
∴CA=CB.同理BA=BC.
∴△ABC是等边三角形.
∴∠A=60°.由
(1)得AC=AB=BC，
∴CF=2DF.证明：
∵CD=CB=AB=BA，
∴△ABC是等边三角形.
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°.在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠A=30°，
∴在Rt△ABE中，BF=2EF.在Rt△ADC中，∠ACD=90°-∠A=30°，
∴CF=2DF.又
∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，
∴∠FCB=30°.在Rt△BFD中，∠FBD=∠ABC-∠ABE=60°-30°=30°，
∴BF=2DF.
∵CF=2DF，
∴BF=CF=2DF.

7. 北京四中校本经典题 如图，$\triangle ABC$为等腰三角形，$AC = BC$，$\triangle BDC$和$\triangle ACE$均为等边三角形，$AE$与$BD$相交于点$F$，连接$CF$交$AB$于点$G$.
（1）求证：$G$为$AB$的中点.
（2）若$\angle FAG = 15^{\circ}$，求$\angle BCE$的度数.

答案： 解：
(1)证明：
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA.
∵△AEC和△BCD均为等边三角形，
∴∠CAE=∠CBD=60°.
∴∠CAE-∠CAB=∠CBD-∠CBA，即∠FAG=∠FBG.
∴AF=BF.在△AFC和△BFC中，{AC=BC,AF=BF,CF=CF,
∴△AFC≌△BFC(SSS).
∴∠ACF=∠BCF，即CF平分∠ACB.又
∵AC=BC，
∴AG=BG，即G为AB的中点.
(2)设BD与CE相交于点M.由
(1)可得∠FBG=∠FAG=15°，
∴∠BFE=∠FBG+∠FAG=15°+15°=30°.
∵∠E=60°，
∴∠EMF=180°-30°-60°=90°.
∴CE⊥BD.在Rt△BCM中，∠E=60°，∠EMF=90°，∠BMC=90°，∠CBD=60°.
∴∠BCE=180°-90°-60°=30°.

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$D$是$AB$的中点，连接$CD$，过点$B$作$BE\perp CD$交$CD$的延长线于点$E$，连接$AE$，过点$A$作$AF\perp AE$交$CD$于点$F$. 求证：
（1）$AE = AF$.
（2）$CD = 2BE + DE$.

答案： 证明：
(1)
∵∠BAC=90°，AF=AE，∠EAB=∠BAF.
∴∠BAE+∠FAC=90°.
∵∠BAC=90°，∠FAC=∠MAE.
∴∠CBD=60°.
∴∠BEA+∠EBA=90°.
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°.
∴∠EBA+∠EDB=∠ADC+∠FCA=90°.
∵∠EDB=∠ADC，
∴∠EBA=∠FCA.在△AEB和△AFC中，{∠EAB=∠FAC,AB=AC,∠EBA=∠FCA,
∴△AEB≌△AFC(ASA).
∴AE=AF.
(2)过点A作AG⊥EC，垂足为G.
∵BD是CE的中点，
∴BD=AD.在△BED和△AGD中，{∠BED=∠AGD,∠BDE=∠ADG,BD=AD,
∴△BED≌△AGD(AAS).
∴ED=GD，BE=AG.
∵AE=AF，AE⊥AF，
∴∠AEF=∠AFE=45°.
∵FG=45°.
∴GF=AG=BE.
∴GF=BE=AG=GF.
∴CD=DG+GF+FC=DE+BE+BE=2BE+DE.