《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

1. 探究活动：
(1) 探究规律：
$15^{2}=15×15=225=(1×2)×100+25$；
$25^{2}=25×25=625=(2×3)×100+25$；
$35^{2}=35×35=1225=(3×4)×100+25$；
$45^{2}=$45×45=2025=(4×5)×100+25；
……
(2) 猜想规律：$\overline {a5}^{2}=$②(填序号). (注：$\overline {a5}$表示十位上数字是$a$，个位上数字是5的两位数，$\overline {a5}^{2}$表示此两位数的平方)
①$100a^{2}+a+25$；②$100a(a+1)+25$；③$100a(a-1)+25$.
(3) 推理说明：$\overline {a5}^{2}$是25的倍数.

答案： 1.解:
(1)45×45=2025=(4×5)×100+25
(2)②
(3)
∵$\overline{a5}^2=100a(a$+1)+25=$100a^2+100a+25=25(4a^2+4a+1)=25(2a+1)^2$，
∴$\overline{a5}^2$是25的倍数.

2. 在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分. 而诸如“000000”“666666”“生日”等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了. 有一种用“分解因式法”产生的密码，方便记忆，其原理是将一个多项式分解因式. 例如：将多项式 $ x(x^{2}-y^{2}) - 2y(x^{2}-y^{2}) $ 分解因式的结果为 $ (x - y)(x + y)(x - 2y) $，当 $ x = 16 $，$ y = 2 $ 时，$ x - y = 14 $，$ x + y = 18 $，$ x - 2y = 12 $，此时可以得到 6 个六位数的数字密码：141812；141218；181412；181214；121418；121814.
(1) 根据上述方法，当 $ x = 25 $，$ y = 2 $ 时，将多项式 $ x^{3} - 9xy^{2} $ 分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个）
(2) 小敏同学设计的多项式为 $ a^{4} - 8a^{2}b^{2} + 16b^{4} $，根据上述方法，当 $ a = 14 $，$ b = 2 $ 时，写出将多项式 $ a^{4} - 8a^{2}b^{2} + 16b^{4} $ 分解因式后形成的八位数的数字密码.（写出一个即可）
(3) 自己写一个多项式，并用上述方法生成一个数字密码.

答案： 2.解:
(1)251931,253119,192531.(答案不唯一)
(2)18181010.(答案不唯一)
(3)例如:$m^{3}-2m^{2}n+mn^{2}=m(m-n)^{2}$.当$m=16,n=1$时,六位数的数字密码为161515.