《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

1. 下列式子为完全平方式的是(D)

A.$a^{2}+ab + b^{2}$
B.$a^{2}+2a + 2$
C.$a^{2}-2b + b^{2}$
D.$a^{2}+2a + 1$

答案： 1.D

2. (1)若$x^{2}-6x + k$是完全平方式，则$k=$9 .
(2)若$x^{2}-ax + 16$是完全平方式，则$a=$±8.

答案： 2.
9    ±8

3. 下列多项式能直接用完全平方公式分解因式的是(B)

A.$9x^{2}-16y^{2}$
B.$4x^{2}-4x + 1$
C.$x^{2}+xy + y^{2}$
D.$9-3x + x^{2}$

答案： 3.B

4. 分解因式：
(1)(2024·兰州)$a^{2}-2a + 1=$$(a-1)^{2}$.
(2)(2024·常州)$x^{2}-4xy + 4y^{2}=$$(x-2y)^{2}$.
(3)$(p + q)^{2}+10(p + q)+25=$$(p+q+5)^{2}$.

答案： 4.
(1)$(a-1)^{2}$
(2)$(x-2y)^{2}$
(3)$(p+q+5)^{2}$

5. 新考向 开放性问题 在多项式$x^{2}+\frac{1}{4}$中添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式可以是$x$.(写一个即可)

答案： 1. 首先明确完全平方公式：
完全平方公式为$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab + b^{2}$。
对于多项式$x^{2}+\frac{1}{4}$，这里$a = x$，$b=\frac{1}{2}$（因为$b^{2}=\frac{1}{4}$，则$b = \pm\frac{1}{2}$）。
2. 然后根据完全平方公式求$2ab$：
当$a = x$，$b=\frac{1}{2}$时，$2ab=2× x×\frac{1}{2}=x$；
当$a = x$，$b =-\frac{1}{2}$时，$2ab=2× x×(-\frac{1}{2})=-x$；
当$a=\frac{1}{2}$，$b = x$时（把$x^{2}$看成$2ab$，$\frac{1}{4}$看成$a^{2}$），$b^{2}=x^{4}$，$2ab = 2×\frac{1}{2}× x^{2}=x^{2}$（这种情况是$x^{4}+x^{2}+\frac{1}{4}=(x^{2}+\frac{1}{2})^{2}$）。
所以添加的单项式可以是$x$（或$-x$或$x^{4}$）。
故答案为：$x$（答案不唯一）。

6. 分解因式：
(1)$1-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}x^{2}$.
(2)$-4x^{2}-y^{2}-4xy$.

答案： 6.解:
(1)原式=$(1-\frac {1}{3}x)^{2}$.
(2)原式=$-(4x^{2}+y^{2}+4xy)=-(2x+y)^{2}.$

7. A|湖南师大附中校本经典题 已知$9x^{2}+mxy + 16y^{2}$能运用完全平方公式分解因式，则$m$的值为(D)

A.12
B.$\pm12$
C.24
D.$\pm24$

答案： 7.D

8. 已知$a\neq c$，若$M = a^{2}-ac$，$N = ac - c^{2}$，则$M$与$N$的大小关系是(A)

A.$M＞N$
B.$M = N$
C.$M＜N$
D.不能确定

答案： 8.A

9. 已知$m - n=\sqrt{7}$，则代数式$m^{2}+n^{2}+1-2mn$的值是(A)

A.8
B.7
C.6
D.5

答案： 9.A

10. 分解因式：
(1)$25(x - y)^{2}-30(x - y)+9$.
(2)$-4m^{2}+4m(p + q)-(p + q)^{2}$.

答案： 10.解:
(1)原式=$[5(x-y)]^{2}-2×5×3(x-y)+3^{2}=(5x-5y-3)^{2}.$
(2)原式=$-[4m^{2}-4m(p+q)+(p+q)^{2}]=-(2m-p-q)^{2}.$

11. 利用因式分解计算：
$50×9.5^{2}-100×9.5×7.5 + 50×7.5^{2}$.

答案： 11.解:原式=$50×[9.5^{2}-2×9.5×7.5+7.5^{2}]=50×(9.5-7.5)^{2}=50×2^{2}=200.$

12. 新考向 阅读理解 先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如$x^{2}+2xa + a^{2}$这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成$(x + a)^{2}$的形式.但对于二次三项式$x^{2}+2xa-3a^{2}$，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式$x^{2}+2xa-3a^{2}$中先加上一项$a^{2}$，使它与$x^{2}+2xa$的和成为一个完全平方式，再减去$a^{2}$，于是有：
$\begin{aligned}x^{2}+2xa-3a^{2}&=(x^{2}+2xa + a^{2})-a^{2}-3a^{2}\\&=(x + a)^{2}-4a^{2}\\&=(x + a)^{2}-(2a)^{2}\\&=(x + 3a)(x - a).\end{aligned}$
像这样，先添一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.
利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：$a^{2}-6a + 8$.
(2)已知$\triangle ABC$的三边长$a$，$b$，$c$都是正整数，且满足$a^{2}+b^{2}-2a-4b + 5 = 0$，求$\triangle ABC$的周长，并判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 12.解:
(1)原式=$(a^{2}-6a+9)-9+8=(a-3)^{2}-1=(a-3+1)(a-3-1)=(a-2)(a-4)$.
(2)$\because a^{2}+b^{2}-2a-4b+5=0,\therefore (a^{2}-2a+1)+(b^{2}-4b+4)=0.\therefore (a-1)^{2}+(b-2)^{2}=0.\therefore a-1=0,b-2=0.\therefore a=1,b=2.\because 2-1＜c＜2+1$,即$1＜c＜3$.
∵c是正整数,$\therefore c=2.\therefore a+b+c=5.\therefore △ABC$的周长为5.
(3)$\because b=2,c=2$,
∴是等腰三角形.