《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

3. 如图，已知C为射线AD上一点，∠A=∠B，PA=PB，AP与BC相交于点M.若∠APB=2∠CPA，求证：BM=AC+CM.

答案： 3.证明:在BC上截取BG=AC,连接PG.在△ACP和△BGP中,{AP=BP,∠A=∠B,AC=BG,
∴△ACP≌△BGP(SAS).
∴∠CPA=∠GPB,PC=PG.
∵∠APB=2∠CPA,
∴∠APB=2∠GPB.又
∵∠APB=∠GPB+∠GPA,
∴∠GPA=∠GPB=∠CPA.在△CPM和△GPM中,{PC=PG,∠CPM=∠GPM,PM=PM,
∴△CPM≌△GPM(SAS).
∴CM=GM.
∴BM=BG+GM=AC+CM.

4. 【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，试探究线段BE，EF，FD之间的数量关系.
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE，EF，FD之间的数量关系是EF=BE+FD.
【探索延伸】
如图2，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF= $\frac{1}{2}$∠BAD，
上述结论是否仍然成立？请说明理由.

答案： 4.解:【初步探索】EF=BE+FD 【探索延伸】结论仍然成立.理由:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADG.在△ABE和△ADG中,{BE=DG,∠ABE=∠ADG,AB=AD,
∴△ABE≌△ADG(SAS).
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵∠EAF=1/2∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF.在△EAF和△GAF中,{AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF,
∴△EAF≌△GAF(SAS).
∴EF=FG=DG+FD=BE+FD.

5. 如图，已知CD=AB，∠BAD=∠BDA，AE是△ABD的中线.求证：AC=2AE.

答案： 5.证明:延长AE至点F,使AE=EF,连接BF.
∵AE是△ABD的中线,
∴BE=DE.在△ADE和△FBE中,{AE=FE,∠AED=∠FEB,DE=BE,
∴△ADE≌△FBE(SAS).
∴BF=DA,∠FBE=∠ADE.
∵∠BAD=∠BDA,
∴∠ABF=∠ABD+∠FBE=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC.在△ABF和△CDA中,{AB=CD,∠ABF=∠CDA,BF=DA,
∴△ABF≌△CDA(SAS).
∴AC=AF.
∵AF=2AE,
∴AC=2AE.