《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

1. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$AC = 4$，则$AB$的长是(C)

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： C

2. 如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面$3m$处折断，树尖$B$恰好碰到地面，经测量$\angle ABC = 30^{\circ}$，则这棵树折断前的高度为(B)

A.$6m$
B.$9m$
C.$10m$
D.$12m$

答案： B

3. 如图，$\triangle ABC$是等边三角形，$D$是$AC$的中点，$DE\perp BC$，$CE = 3$，则$AC =$(D)

A.6
B.8
C.9
D.12

答案： D

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BCA = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，$\angle BCD = 30^{\circ}$，$BD = 2$，则$AB$的长为(C)

A.2
B.4
C.8
D.16

答案： C

5. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，以点$A$为圆心，$AC$的长为半径作弧，交边$AB$于点$D$。若$BD = 3$，则$AC =$3。

答案： 3

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，$AD\perp AC$交$BC$于点$D$。若$BD = 1$，则$BC$的长为3。

答案： 3

7. 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请选择一种进行证明。
|定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
已知：如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 30^{\circ}$。
求证：$BC = \frac{1}{2}AB$。|
|--|
|方法一
证明：延长$BC$至点$D$，使$CD = BC$，连接$AD$。

|方法二
证明：在$AB$上截取$BE = BC$，连接$CE$。

|
选择方法一。

答案： 解:选择方法一,证明:延长BC至点D,使CD=BC,连接AD.
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴∠B=90°-∠BAC=60°,∠ACD=180°-∠ACB=90°.
∴∠ACD=∠ACB=90°.在△BCA和△DCA中,{AC=AC,∠ACB=∠ACD,BC=DC,
∴△BCA≌△DCA(SAS).
∴AD=AB.
∴△ABD是等边三角形.
∴AB=BD.
∵BC=CD=1/2BD,
∴BC=1/2AB.选择方法二,证明:在AB上截取BE=BC,连接CE.
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=90°-∠A=60°.
∴△BCE是等边三角形.
∴BC=BE=EC,∠BCE=60°.
∴∠ECA=∠ACB-∠BCE=30°.
∴∠ECA=∠A=30°.
∴EC=EA.
∴BC=BE=EA=1/2AB,即BC=1/2AB.

8. (2023·贵州)5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕。在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为$120^{\circ}$，腰长为$12m$，则底边上的高是(B)

A.$4m$
B.$6m$
C.$10m$
D.$12m$
]

答案： B