《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

变式角度3 三等分线
【变式3】如图，已知 $ \angle PBC = \frac{1}{3}\angle DBC $，$ \angle PCB = \frac{1}{3}\angle ECB $，试探究 $ \angle BPC $ 与 $ \angle A $ 之间的数量关系。

答案： 解：
∵∠DBC=$\angle ACB+\angle A$,
∴∠DBC+$\angle ECB=\angle ACB+\angle A+\angle ECB=180° +\angle A$.
∵∠PBC=$\frac{1}{3}\angle DBC$,∠PCB=$\frac{1}{3}\angle ECB$,
∴∠PBC+$\angle PCB=\frac{1}{3}(\angle DBC+\angle ECB)=\frac{1}{3}(180° +\angle A)$.
∴∠BPC=180°-($\angle PBC+\angle PCB$)=180°-$\frac{1}{3}(180° +\angle A)=120° -\frac{1}{3}\angle A$.

1. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ BO $，$ CO $ 分别平分 $ \angle ABC $，$ \angle ACB $，$ CE $ 为外角 $ \angle ACD $ 的平分线，交 $ BO $ 的延长线于点 $ E $，记 $ \angle BAC = \angle 1 $，$ \angle BEC = \angle 2 $，则下列结论中错误的是（ ）

A.$ \angle 1 = 2\angle 2 $
B.$ \angle BOC = 3\angle 2 $
C.$ \angle BOC = 90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle 1 $
D.$ \angle BOC = 90^{\circ} + \angle 2 $

答案： B

2. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ABC $，$ \angle ACB $ 的三等分线分别对应交于点 $ E $，$ D $。若 $ \angle E = 90^{\circ} $，则 $ \angle BDC $ 的度数为 ，$ \angle A $ 的度数为 。

答案： 135° 45°

3. 如图，$ \triangle ABC $ 的两条内角平分线 $ BO $，$ CO $ 相交于点 $ O $，两条外角平分线 $ BP $，$ CP $ 相交于点 $ P $。已知 $ \angle BOC = 120^{\circ} $，则 $ \angle P = $ 。

答案： 60°

4. 【问题背景】
已知 $ \angle MON = 90^{\circ} $，点 $ A $，$ B $ 分别在 $ OM $，$ ON $ 上运动（不与点 $ O $ 重合）。
【问题思考】
（1）如图 1 所示，$ AE $，$ BE $ 分别是 $ \angle BAO $，$ \angle ABO $ 的平分线，随着点 $ A $，$ B $ 的运动，求 $ \angle AEB $ 的度数。
（2）如图 2 所示，$ BC $ 是 $ \angle ABN $ 的平分线，$ BC $ 的反向延长线与 $ \angle BAO $ 的平分线交于点 $ D $。如果 $ \angle MON = \alpha $，其余条件不变，随着点 $ A $，$ B $ 的运动，求 $ \angle D $ 的度数。（用含 $ \alpha $ 的式子表示）

答案：
(1)
∵∠MON=90°,
∴∠BAO+$\angle ABO=90°$.
∵AE,BE 分别是∠BAO,∠ABO 的平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}\angle BAO$,∠ABE=$\frac{1}{2}\angle ABO$.
∴∠BAE+$\angle ABE=\frac{1}{2}(\angle BAO+\angle ABO)=45°$.
∴∠AEB=180°-($\angle BAE+\angle ABE$)=135°.
(2)设∠BAD=x.
∵AD 平分∠BAO,
∴∠BAO=2x.
∵∠AOB=$\alpha$,
∴∠ABN=$\angle AOB+\angle BAO=\alpha +2x$.
∵BC 平分∠ABN,
∴∠ABC=$\frac{1}{2}\angle ABN=\frac{1}{2}\alpha +x$.
∵∠ABC=$\angle D+\angle BAD$,
∴∠D=$\angle ABC-\angle BAD=\frac{1}{2}\alpha +x-x=\frac{1}{2}\alpha$.