《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

8. 如图，△ABC，△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D，G 分别为 AC，AE 的中点. 若 AB=4，则图形 ABCDEFG 外围的周长是 (C)

A.12
B.14
C.15
D.16

答案： C

9. (2024·哈尔滨)如图，在△ABC 中，AB=AC，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 $\frac{1}{2}AB$ 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点，作直线 MN 交 BC 于点 D，连接 AD. 若∠B=50°，则∠DAC= (C)

A.20°
B.50°
C.30°
D.80°

答案： C

10. (2024·重庆)如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D. 若 BC=2，则 AD 的长为2.

答案： 2

11. 如图，△ABC 是等边三角形，点 D，E，F 分别在 BC，AB，CA 的延长线上，且 BE=AF=CD. 求证：△DEF 是等边三角形.

答案： 证明:$\because \triangle ABC$是等边三角形,$\therefore \angle BAC=\angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}$,$AB=AC=BC$.$\therefore \angle EAF=\angle EBD=120^{\circ}$.$\because BE=AF$,$BE+AB=AF+AC$,即$AE=CF$.$\because \triangle AFD≌\triangle BDE$(SAS),$\therefore EF=ED$同.理可得$\triangle AEF≌\triangle CFD$,$\therefore EF=FD$.$\therefore EF=ED=FD$.$\therefore \triangle DEF$为等边三角形.

12. (2023·泸州龙马潭区期末)如图，灯塔 C 在海岛 A 的北偏东 75°方向，某天上午 8 时整，一艘船从海岛 A 出发，以 15 海里/时的速度由西向东航行，10 时整到达 B 处，此时测得灯塔 C 在 B 处的北偏东 60°方向.
(1)求 B 处到灯塔 C 的距离.
(2)已知在以灯塔 C 为中心，周围 16 海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由.

答案：
(1)解:根据题意,得$\angle BAC=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$,$\angle CBE=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$,$AB=15× (10-8)=30$(海里).$\because \angle ABC=15^{\circ}+30^{\circ}=45^{\circ}$,$\angle C=180^{\circ}-15^{\circ}-45^{\circ}=120^{\circ}$.由正弦定理得$\frac{BC}{\sin \angle BAC}=\frac{AB}{\sin \angle C}$,即$\frac{BC}{\sin 15^{\circ}}=\frac{30}{\sin 120^{\circ}}$,解得$BC=10\sqrt{6}-10\sqrt{2}\approx 10$(海里).
答:B处到灯塔C的距离为30海里.
(2)解:有触礁的危险.理由:过点C作$CD\perp AE$于点D.$\because \angle CBD=30^{\circ}$,$BC=30$海里,$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=15$海里.$\because 15＜16$,$\therefore$该船继续由西向东航行,会有触礁的危险.

13. (2024·泸州泸县期中)如图，在等边三角形 ABC 中，AB=AC=10 cm. 点 M，N 都以 1 cm/s 的速度运动，点 M 在线段 CB 上由点 C 向点 B 运动，点 N 在线段 BA 上由点 B 向点 A 运动，两点同时出发. 当两点运动时间为 t s 时，△BMN 是直角三角形，则 t 的值为 (C)

A.$\frac{10}{3}$
B.$\frac{20}{9}$
C.$\frac{10}{3}$ 或 $\frac{20}{3}$
D.$\frac{5}{3}$ 或 $\frac{10}{3}$

答案： C

14. 如图，在△AB₁C₁ 中，AC₁ = B₁C₁，∠C₁ = 20°，在 B₁C₁ 上取一点 C₂，延长 AB₁ 到点 B₂，使得 B₁B₂ = B₁C₂；在 B₂C₂ 上取一点 C₃，延长 AB₂ 到点 B₃，使得 B₂B₃ = B₂C₃；在 B₃C₃ 上取一点 C₄，延长 AB₃ 到点 B₄，使得 B₃B₄ = B₃C₄……按此操作进行下去，那么第 n 个三角形的内角∠ABₙCₙ = $\left(\frac{80}{2^{n-1}}\right)^{\circ}$. (用含 n 的式子表示)

答案： $\left(\frac{80}{2^{n-1}}\right)^{\circ}$