《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

9. 【整体思想】(2024·济宁)已知$a^{2}-2b + 1 = 0$，则$\frac{4b}{a^{2}+1}$的值是2.

答案： 2

10. 通分：
(1) $\frac{1}{x^{2}-4}$，$\frac{3}{2x - 4}$.
(2) $x - y$，$\frac{2y^{2}}{x + y}$.
(3) $\frac{1}{(x - 1)^{2}}$，$\frac{1}{x^{2}-1}$，$\frac{1}{x + 1}$.

答案： 解:
(1)$\frac {1}{x^{2}-4}=\frac {2}{2(x-2)(x+2)}=\frac {2}{2x^{2}-8},\frac {3}{2x-4}=\frac {3(x+2)}{2(x+2)(x-2)}=\frac {3x+6}{2x^{2}-8}$.
(2)$x-y=\frac {(x-y)(x+y)}{x+y}=\frac {x^{2}-y^{2}}{x+y},\frac {2y^{2}}{x+y}=\frac {2y^{2}}{x+y}$.
(3)$\frac {1}{(x-1)^{2}}=\frac {x+1}{(x-1)^{2}(x+1)}=\frac {x+1}{x^{3}-x^{2}-x+1},\frac {1}{x^{2}-1}=\frac {x-1}{(x-1)^{2}(x+1)}=\frac {x-1}{x^{3}-x^{2}-x+1},\frac {1}{x+1}=\frac {(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)}=\frac {x^{2}-2x+1}{x^{3}-x^{2}-x+1}.$

11. (1) 先化简，再求值：$\frac{(a^{3})^{2}}{a^{4}}-\frac{2a^{4}\cdot a}{a^{3}}$，其中$a = - 2$.
(2)（2024·北京）已知$a - b - 1 = 0$，求代数式$\frac{3(a - 2b)+3b}{a^{2}-2ab + b^{2}}$的值.

答案： 解:
(1)原式$=\frac {a^{6}}{a^{4}}-\frac {2a^{5}}{a^{3}}=a^{2}-2a^{2}=-a^{2}$.当$a=-2$时,原式$=-(-2)^{2}=-4$.
(2)原式$=\frac {3(a-2b)+3b}{(a-b)^{2}}=\frac {3a-6b+3b}{(a-b)^{2}}=\frac {3a-3b}{(a-b)^{2}}=\frac {3(a-b)}{(a-b)^{2}}=\frac {3}{a-b}.\because a-b-1=0,\therefore a-b=1$.
∴原式$=\frac {3}{1}=3.$

12. 新考向 阅读理解 小学阶段，把分子比分母小的数叫作真分数.类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式.对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式.如：$\frac{x + 1}{x - 1}=\frac{x - 1 + 2}{x - 1}=\frac{x - 1}{x - 1}+\frac{2}{x - 1}=1+\frac{2}{x - 1}$.
(1) 下列分式中，属于真分式的是(C)
A. $\frac{x^{2}}{x - 1}$ B. $\frac{x - 1}{x + 1}$ C. $-\frac{3}{2x - 1}$ D. $\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}$
(2) 将假分式$\frac{m^{2}+3}{m + 1}$化成整式与真分式的和的形式.
(3) 若$\frac{m^{2}+3}{m + 1}$的值是整数，求整数$m$的值.

答案：
(1)C
(2)$\frac {m^{2}+3}{m+1}=\frac {m^{2}-1+4}{m+1}=\frac {m^{2}-1}{m+1}+\frac {4}{m+1}=\frac {(m+1)(m-1)}{m+1}+\frac {4}{m+1}=m-1+\frac {4}{m+1}$.
(3)由
(2)可得,$\frac {m^{2}+3}{m+1}=m-1+\frac {4}{m+1}.\because \frac {m^{2}+3}{m+1}$的值为整数,且m为整数,$m+1≠0,\therefore \frac {4}{m+1}$为整数,且$m≠-1.\therefore m+1$的值为-1 或1 或-4 或4 或-2 或2.
∴m的值为-2 或0 或-5 或3 或-3 或1.