《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

1. 计算$\frac{a - 1}{a} ÷ (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{a})$的结果是 (B)

A.$a$
B.$-a$
C.$\frac{1}{a}$
D.$-\frac{1}{a}$

答案： B

2. 计算$\frac{x}{y^3} ÷ \frac{2x}{y} - (\frac{x}{2y})^2 \cdot \frac{y}{x}$的结果是 (D)

A.$\frac{2 - y}{4y}$
B.$\frac{1}{4y^2}$
C.$\frac{1}{4y}$
D.$\frac{2 - xy}{4y^2}$

答案： D

3. 计算$(a - \frac{1}{b}) ÷ (\frac{1}{a} - b)$的结果是 (A)

A.$-\frac{a}{b}$
B.$\frac{a}{b}$
C.$-\frac{b}{a}$
D.$\frac{b}{a}$

答案： A

4. 计算：
(1)$(\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}) ÷ \frac{2x}{x^2 + 2xy + y^2} =$$\frac{x+y}{x}$.
(2)$(\frac{2m}{m^2 - 4} + \frac{1}{2 - m}) ÷ \frac{1}{m + 2} =$1.

答案：
(1)$\frac{x+y}{x}$
(2)1

5. 化简：
(1)(2024·辽宁)$\frac{a}{a + 1} \cdot \frac{a^2 - 1}{a^2} + \frac{1}{a}$.
(2)(2024·河南)$(\frac{3}{a - 2} + 1) ÷ \frac{a + 1}{a^2 - 4}$.

答案： 解:
(1)原式$=\frac{a}{a+1}\cdot \frac{(a+1)(a-1)}{a^{2}}+\frac{1}{a}=\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}=\frac{a}{a}=1$.
(2)原式$=\frac{3+a-2}{a-2}÷ \frac{a+1}{(a+2)(a-2)}=\frac{a+1}{a-2}\cdot \frac{(a+2)(a-2)}{a+1}=a+2$.

6. 为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1000米的时光隧道，让甲工程队单独做需要$x$天完成，让乙工程队单独做需要$y$天完成$(0 ＜ x ＜ y)$。若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？

答案： 解:由题意,得甲工程队的工作效率为$\frac{1000}{x}$(米/天),乙工程队的工作效率为$\frac{1000}{y}$(米/天),甲、乙两队合作共需要的天数为$1000÷ (\frac{1000}{x}+\frac{1000}{y})=\frac{xy}{x+y}$(天).

7. 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，速度为$2v$km/h. 小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的速度为$v$km/h，在下坡路上的速度为$3v$km/h.
(1)小刚从家到学校需要多长时间？
(2)小刚和小丽谁在路上花费的时间更少？少用多长时间？

答案： 解:
(1)$\because$小刚走上坡路的时间为$\frac{1}{v}\ h$,走下坡路的时间为$\frac{2}{3v}\ h$,$\therefore$小刚从家到学校需要的时间为$\frac{1}{v}+\frac{2}{3v}=\frac{5}{3v}\ h$.
(2)小丽花费的时间为$\frac{3}{2v}\ h$,$\because \frac{5}{3v}-\frac{3}{2v}=\frac{1}{6v}\ h$,$\therefore$小丽花费的时间更少,少用了$\frac{1}{6v}\ h$.

8. 化简：$\frac{9}{a + 1} ÷ (\frac{2}{a - 1} + \frac{a - 2}{a^2 - 1}) =$$\frac{3a-3}{a}$.

答案： $\frac{3a-3}{a}$

9. 计算$\frac{a^2 - 4}{a} ÷ (a + 1 - \frac{5a - 4}{a})$的结果是(A)

A.$\frac{a + 2}{a - 2}$
B.$\frac{a - 2}{a + 2}$
C.$\frac{(a - 2)(a + 2)}{a}$
D.$\frac{a + 2}{a}$

答案： A