《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

【例】（教材 P118 习题 T7 变式）已知 $a + b = 6$，$ab = 2$，求下列各式的值。
(1)$a^{2}+b^{2}$。
(2)$(a - b)^{2}$。
(3)$a^{2}-ab + b^{2}$。
(4)$a^{2}+ab + b^{2}$。

答案： 解：
(1)$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=6^{2}-2×2=32$.
(2)$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab=6^{2}-4×2=28$.
(3)$a^{2}-ab+b^{2}=(a^{2}+b^{2})-ab=32-2=30$.
(4)$a^{2}+4ab+b^{2}=(a+b)^{2}+2ab=6^{2}+2×2=34.$

【变式】已知 $x + y = 6$，$xy = 3$，求下列各式的值。
(1)$x^{2}+4xy + y^{2}$。
(2)$x^{4}+y^{4}$。

答案： 解：
(1)$\because x+y=6,\therefore (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=36.\because xy=3,\therefore x^{2}+y^{2}=30.\therefore 3x^{2}+4xy+y^{2}=42$.
(2)由
(1)知,$x^{2}+y^{2}=30,\therefore x^{4}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}=30^{2}-2×3^{2}=882.$

1. 已知 $a + b = 5$，$ab = 6$，则 $a^{2}+b^{2}$ 的值为(C)

A.25
B.20
C.13
D.17

答案： C

2. 已知 $(x + y)^{2}=1$，$(x - y)^{2}=49$，则 $xy=$-12。

答案： -12

3. 若 $4a^{2}+b^{2}=57$，$ab = 6$，则 $2a + b$ 的值为±9。

答案： ±9

4. 若 $m - n = 4$，$mn = - 3$，则 $(m^{2}-4)(n^{2}-4)$ 的值为-15。

答案： -15

5. 已知 $a + b = 8$，$a^{2}b^{2}=4$，则 $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}-ab=$28 或 36。

答案： 28 或 36

6. (2024·泸州期末)用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式。数学活动课上，老师展示了如图 1 所示的长方形纸片，它的长为 $2a$，宽为 $2b$，用剪刀沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按图 2 的方式拼成一个正方形。请解答下列问题：
(1) 请用两种不同的方法表示图 2 中阴影部分的面积：
方法 1：。
方法 2：。
(2) 观察图 2，请写出 $(a + b)^{2}$，$(a - b)^{2}$，$ab$ 之间的等量关系：。
(3) 结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题：
① 已知 $a + b = 5$，$ab = 5$，求 $(a - b)^{2}+(a + 2)(b + 2)$ 的值。
② 已知 $(2024 - a)^{2}+(a - 2023)^{2}=7$，求 $(2024 - a)(a - 2023)$ 的值。

答案： 解：
(1)$(a-b)^{2}+(a+2)(b+2)=(a+b)^{2}-4ab+ab+2(a+b)+4=(a+b)^{2}-3ab+2(a+b)+4=5^{2}-3×5+2×5+4=24$. ②设$2024-a=x,a-2023=y.\because (2024-a)^{2}+(a-2023)^{2}=7,\therefore x^{2}+y^{2}=7.\because x+y=1,\therefore (x+y)^{2}-2xy=7.\therefore 1^{2}-2xy=7,\therefore xy=-3.\therefore (2024-a)(a-2023)=-3.$