《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

1.（2023·宜宾）如图，$AB// DE$，$AB = DE$，$AF = DC$. 求证：$\angle B=\angle E$.

答案： 证明：
∵AF=DC，
∴AF+CF=DC+CF，即AC=DF.
∵AB//DE，
∴∠A=∠D.在△ABC和△DEF中，{AB=DE,∠A=∠D,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
∴∠B=∠E.

2. 如图，在四边形$ABCD$中，$BD$所在的直线垂直平分线段$AC$，过点$A$作$BC$的平行线$AF$交$CD$于点$F$，延长$AB$，$DC$相交于点$E$. 求证：
（1）$AC$平分$\angle EAF$.
（2）$\angle FAD=\angle E$.

答案： 证明：
(1)
∵BD垂直平分线段AC，
∴BA=BC.
∴∠BAC=∠BCA.
∵BC//AF，
∴∠CAF=∠BCA.
∴∠CAF=∠BAC，即AC平分∠EAF.
(2)
∵BD垂直平分线段AC，
∴DA=DC.
∴∠DAC=∠DCA.
∵∠DCA=∠E+∠EAC，∠DAC=∠FAD+∠CAF，∠CAF=∠EAC，
∴∠FAD=∠E.

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$为$AB$上一点，$E$为$AC$的中点，连接$DE$并延长至点$F$，使得$EF = ED$，连接$CF$.
（1）求证：$CF// AB$.
（2）若$\angle ABC = 50^{\circ}$，$CA$平分$\angle BCF$，求$\angle A$的度数.

答案： 解：
(1)证明：在△AED和△CEF中，{AE=CE,∠AED=∠CEF,DE=FE,
∴△AED≌△CEF(SAS).
∴∠A=∠ECF.
∴CF//AB.
(2)
∵CA平分∠BCF，
∴∠ACB=∠ACF.
∵∠A=∠ACF，
∴∠A=∠ACB.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=50°，
∴2∠A=130°.
∴∠A=65°.

4. 如图，$AD$是$\triangle ABC$的高，$E$为$AC$上一点，$BE$与$AD$相交于点$F$，且$BF = AC$，$FD = CD$.
（1）求$\angle ABC$的度数.
（2）求证：$BE\perp AC$.

答案： 解：
(1)
∵AD为△ABC的高，
∴∠BDF=∠ADC=90°.在Rt△BDF和Rt△ADC中，{BF=AC,FD=CD,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL).
∴BD=AD.
∴△ABD是等腰直角三角形.
∴∠ABC=45°.
(2)证明：
∵Rt△BDF≌Rt△ADC，
∴∠EBC=∠CAD.
∵∠CAD+∠C=90°，
∴∠EBC+∠C=90°.
∴∠BEC=90°.
∴BE⊥AC.

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$是$BC$的中点，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，垂足分别是$E$，$F$，且$BE = CF$.
（1）求证：$\angle B=\angle C$.
（2）连接$AD$，求证：$AD\perp BC$.

答案： 证明：
(1)
∵D是BC的中点，
∴BD=CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，{BD=CD,BE=CF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴∠B=∠C.
(2)
∵∠B=∠C，
∴AB=AC.
∵D是BC的中点，
∴AD⊥BC.