《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

母题 两内角平分线的夹角
【例】（教材 P22 复习题 T8 节选）如图，$ \triangle ABC $ 的 $ \angle ABC $ 和 $ \angle ACB $ 的平分线 $ BE $，$ CF $ 相交于点 $ G $。求证：$ \angle BGC = 90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle A $。

答案： 证明：
∵BE,CF 分别是∠ABC,∠ACB 的平分线，
∴∠GBC+∠GCB=$\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)$.
∴∠BGC=180°-($\angle GBC+\angle GCB$)=180°-$\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)$.又
∵∠ABC+$\angle ACB=180° -\angle A$,
∴∠BGC=180°-$\frac{1}{2}(180° -\angle A)=90° +\frac{1}{2}\angle A$.

变式角度1 一内角平分线与一外角平分线的夹角
【变式1】如图所示，$ P $ 是 $ \triangle ABC $ 的内角 $ \angle ABC $ 和外角 $ \angle ACD $ 的平分线的交点，试探究 $ \angle P $ 与 $ \angle A $ 之间的数量关系。

答案： 解：
∵△ABC 的内角平分线 BP 与外角平分线 CP 交于点 P,
∴∠PBC=$\frac{1}{2}\angle ABC$,∠PCD=$\frac{1}{2}\angle ACD$.又
∵∠ACD=$\angle A+\angle ABC$,∠PCD=$\angle P+\angle PBC$,
∴$\frac{1}{2}(\angle A+\angle ABC)=\angle P+\frac{1}{2}\angle ABC$.
∴∠P=$\frac{1}{2}\angle A$.

变式角度2 两外角平分线的夹角
【变式2】如图所示，$ P $ 是 $ \triangle ABC $ 的两个外角 $ \angle EBC $ 和 $ \angle FCB $ 的平分线的交点，试探究 $ \angle P $ 与 $ \angle A $ 之间的数量关系。

答案： 解：
∵∠EBC=$\angle ACB+\angle A$,
∴∠EBC+$\angle FCB=\angle ACB+\angle A+\angle FCB=180° +\angle A$.
∵BP,CP 分别是∠EBC,∠FCB 的平分线，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}\angle EBC$,∠PCB=$\frac{1}{2}\angle FCB$.
∴∠PBC+$\angle PCB=\frac{1}{2}(\angle EBC+\angle FCB)=\frac{1}{2}(180° +\angle A)=90° +\frac{1}{2}\angle A$.
∴∠P=180°-($\angle PBC+\angle PCB$)=180°-($90° +\frac{1}{2}\angle A$)=90°-$\frac{1}{2}\angle A$.