《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 的延长线上,且$BD=CE$,DE 交 BC 于点 F. 求证:$DF=EF.$

答案： 1. 证明:过点 D 作 DM//AC 交 BC 于点 M.
∴∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠DMB.
∴BD=MD.
∵BD=CE,
∴MD=CE.在△DMF 和△ECF 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠FDM=∠E,\\ ∠MFD=∠CFE,\\ MD=CE,\end{array}\right. $
∴△DMF≌△ECF(AAS).
∴DF=EF.

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC,∠A=90^{\circ },BE$是角平分线，$CD⊥BE$交 BE 的延长线于点 D. 求证:$BE=2CD.$

答案： 2. 证明:延长 BA,CD 相交于点 Q.
∵∠CAQ=∠BDQ=90°,
∴∠ACQ+∠Q=90°,∠ABE+∠Q=90°.
∴∠ACQ=∠ABE.在△ABE 和△ACQ中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ABE=∠ACQ,\\ AB=AC,\\ ∠BAE=∠CAQ,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△ACQ(ASA).
∴BE=CQ.
∵BD 平分∠ABC,∠BDC=∠BDQ=90°,
∴∠Q=∠BCQ.
∴BQ=BC.又
∵BD⊥CQ,
∴CD=DQ.
∴BE=CQ=2CD.

3. 如图,在$\triangle ABC$中,已知$∠ABC=3∠C$,AD平分$∠BAC,BE⊥AD$于点 E. 求证:$BE=$$\frac {1}{2}(AC-AB).$

答案： 3. 证明:延长 BE 交 AC 于点 F.
∵BF⊥AD,
∴∠AEB=∠AEF.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE.在△ABE 和△AFE 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AEB=∠AEF,\\ AE=AE,\\ ∠BAE=∠FAE,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△AFE(ASA).
∴∠ABF=∠AFB,AB=AF,BE=EF.
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,
∴∠C+2∠CBF=3∠C.
∴∠CBF=∠C.
∴BF=CF.
∴BE=$\frac {1}{2}$BF=$\frac {1}{2}$CF.
∵CF=AC-AF=AC-AB,
∴BE=$\frac {1}{2}$(AC-AB).