《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

母题：A|清华附中校本经典题 如图，在△ABC 中，AD，AE 分别是△ABC 的角平分线和高线，∠ABC=α，∠ACB=β(α＜β).
(1)若α=35°，β=55°，则∠DAE=______.
(2)小明说：“无需给出α，β的具体数值，只需确定β与α的差值，即可确定∠DAE 的度数.”请通过计算验证小明的说法是否正确.

答案：
(1)10°
(2)
∵∠ABC=α,∠ACB=β,
∴∠BAC=180°-α-β.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAD= $\frac{1}{2}$∠BAC= $\frac{1}{2}$(180°-α-β).
∵AE⊥BC,
∴∠AEB=90°,
∴∠BAE=90°-α.
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=(90°-α)-$\frac{1}{2}$(180°-α-β)= $\frac{1}{2}$(β-α).
∴∠DAE 的度数与α,β的具体数值无关,只和β与α的差值有关.
∴小明的说法是正确的.

变式角度 1 高线在三角形外部，与三角形的角平分线经过三角形的同一个顶点
1. 如图，在△ABC 中，∠B=20°，∠ACB=110°，AE 平分∠BAC，AD⊥BD 于点 D，求∠DAE 的度数.

答案： 45°

变式角度 2 过角平分线上一点(不含端点)作该角所对边的垂线
2. 如图，在△ABC 中，∠B＜∠C，AD 平分∠BAC，E 为 AD(不与点 A，D 重合)上任意一点，EF⊥BC 于点 F.若∠B=46°，∠DEF=14°，求∠C 的度数.

答案：
∵EF⊥BC,
∴∠EFD=90°,
∴∠EDF=90°-∠DEF=76°.
∵∠B=46°,
∴∠BAD=∠EDF-∠B=30°.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°.
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-46°-60°=74°.

变式角度 3 过角平分线的延长线(或反向延长线)上一点作该角所对边的垂线
3. 如图，在△ABC 中，点 D，E 在边 BC 上，AD 平分∠BAC，F 为 DA 延长线上一点，FE⊥BC，∠B=35°，∠C=65°，则∠DFE 的度数为______.

答案： 15°

4. 如图，在△ABC 中，∠B＞∠C，AE 平分∠BAC，在 AE 的延长线上任取一点 M，过点 M 作 MD⊥BC 于点 D，则∠M=$\frac{1}{2}$(∠B−∠C)成立吗？试说明理由.

答案： ∠M= $\frac{1}{2}$(∠B-∠C)成立.理由如下:过点 A 作 AN⊥BC 于点 N.
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C.
∵AE 平分∠BAC,
∴∠BAE= $\frac{1}{2}$∠BAC= $\frac{1}{2}$(180°-∠B-∠C)=90°- $\frac{1}{2}$(∠B+∠C).
∵AN⊥BC,
∴∠ANB=90°,
∴∠BAN=90°-∠B.
∴∠NAE=∠BAE-∠BAN=90°- $\frac{1}{2}$(∠B+∠C)-(90°-∠B)= $\frac{1}{2}$(∠B-∠C).
∵∠MDE=∠ANE=90°,
∴AN//DM.
∴∠M=∠NAE= $\frac{1}{2}$(∠B-∠C).