《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

请根据上述材料，画出相应的示意图，并完成下表.

答案：
数学活动1 （1）4 （2）7 （3）8 （4）11

已知：把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分。如图所示的是七边形的三角剖分的几种方法。

(1)请画出六边形的一种三角剖分方法，并指出能剖分出多少个三角形。
(2)对于一个$n$边形的一种三角剖分，若这些三角形的内角总和是$1800^{\circ}$，求$n$的值。
(3)一个多边形，往往有多种方法进行三角剖分。记$n$边形三角剖分的方法数为$D_{n}$，则当$n\geqslant3$时，$\frac{D_{n + 1}}{D_{n}}=\frac{4n - 6}{n}$。已知$D_{3}=1$，求五边形的三角剖分方法数$D_{5}$。

答案：
(1)图略(答案不唯一),能剖分出 4 个三角形.
(2)由题意可知,n边形可三角剖分为(n-2)个三角形,这些三角形的内角总和为(n-2)×180°,
∴(n-2)×180=1800,解得n=12.
(3)将n=3代入$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$,得$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3-6}{3}=\frac{12-6}{3}=\frac{6}{3}=2$.
∵$D_3=1$,
∴$D_4=2D_3=2×1=2$.将n=4代入$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$,得$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{16-6}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$,
∵$D_4=2$,
∴$D_5=\frac{5}{2}D_4=\frac{5}{2}×2=5$.五边形的三角剖分方法数$D_5=5$.