《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

13. 当$n$为自然数时,$(n + 1)^{2}-(n - 3)^{2}$一定能被下列哪个数整除()

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： D

14. (2024·南充期末)已知$a,b,c$为$\triangle ABC$的三边长,且满足$a^{2}-b^{2}=ac - bc$,则$\triangle ABC$的形状是三角形.

答案： 等腰

15. (2024·安徽)数学兴趣小组开展探究活动,研究了“正整数$N$能否表示为$x^{2}-y^{2}$($x,y$均为自然数)”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理,部分信息如下($n$为正整数):

按上表规律,回答下列问题:
(ⅰ)$24=$.
(ⅱ)$4n=$.
(2)兴趣小组还猜测:像$2,6,10,14\cdots$这些形如$4n - 2$($n$为正整数)的正整数$N$不能表示为$x^{2}-y^{2}$($x,y$均为自然数).师生一起研讨,分析过程如下:
| 假设$4n - 2 = x^{2}-y^{2}$,其中$x,y$均为自然数.分下列三种情形分析:
①若$x,y$均为偶数,设$x = 2k,y = 2m$,其中$k,m$均为自然数.
则$x^{2}-y^{2}=(2k)^{2}-(2m)^{2}=4(k^{2}-m^{2})$为4的倍数.
而$4n - 2$不是4的倍数,矛盾.
故$x,y$不可能均为偶数.
②若$x,y$均为奇数,设$x = 2k + 1,y = 2m + 1$,其中$k,m$均为自然数.
则$x^{2}-y^{2}=(2k + 1)^{2}-(2m + 1)^{2}=$为4的倍数.
而$4n - 2$不是4的倍数,矛盾.
故$x,y$不可能均为奇数.
③若$x,y$一个是奇数,一个是偶数,则$x^{2}-y^{2}$为奇数.
而$4n - 2$是偶数,矛盾.
故$x,y$不可能一个是奇数,一个是偶数.
由①②③可知,猜测正确. |
阅读以上内容,请在情形②的横线上填写所缺内容.

答案：
(1)(i) $7^{2}-5^{2}$
(1)(ii) $(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$
(2) $4(k^{2}+k - m^{2}-m)$

16. (2024·泸州江阳区期末)1637年,笛卡尔(R. Descartes,1596 - 1650)在其《几何学》中首次应用待定系数法最早给出因式分解定理.关于笛卡尔的“待定系数法”原理,举例说明如下:
分解因式:$x^{3}+x^{2}+3x - 5$.
解:观察可知,当$x = 1$时,原式$= 0$.
$\therefore$原式可分解为$x - 1$与另一个整式的积.
设另一个整式为$x^{2}+bx + c$.
则$x^{3}+x^{2}+3x - 5=(x - 1)(x^{2}+bx + c)$.
$\because(x - 1)(x^{2}+bx + c)=x^{3}+(b - 1)x^{2}+(c - b)x - c$,
$\therefore x^{3}+x^{2}+3x - 5=x^{3}+(b - 1)x^{2}+(c - b)x - c$.
$\because$等式两边$x$同次幂的系数相等,
$\therefore\begin{cases}b - 1 = 1,\\c - b = 3,\\-c = -5,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = 2,\\c = 5.\end{cases}$
$\therefore x^{3}+x^{2}+3x - 5=(x - 1)(x^{2}+2x + 5)$.
根据以上材料,理解并运用材料提供的方法,解答以下问题:
(1)根据以上材料的方法,分解因式$x^{3}+2x^{2}-3$:观察可知,当$x=$时,原式$= 0$,所以原式可分解为与另一个整式的积.设另一个整式为$x^{2}+bx + c$,则$b=$,$c=$.
(2)已知多项式$x^{3}+ax + 1$($a$为常数)有一个因式是$x + 1$,求另一个因式以及$a$的值.下面是小明同学根据以上材料的方法,解此题的部分过程,请帮小明完成他的解答过程.
解:设另一个因式为$x^{2}+bx + c$.
则$x^{3}+ax + 1=(x + 1)(x^{2}+bx + c)$.
……
(3)已知二次三项式$2x^{2}+3x - k$($k$为常数)有一个因式是$x + 4$,则另一个因式为,$k$的值为.

答案： 解:(z)设另一个因式为x²+bx+c.则x³+ax+1=(x+1)(x²+bx+c).
∵(x+1)(x²+bx+c)=x³+(b+1)x²+(b+c):x+c,
∴λ³+ax+l=x³+(b+1)x²+(b+c)x+c.
∴$(b+1=0,b+c=a,c=1)$,解得$(b=-l,a=0,c=1)$.
∴a=0,另一个因式为x²-x+l.
(3)2x-5 20