《2025年名校课堂八年级数学上册人教版5四川专版》

11. 对任意整数 $n$，按下列程序计算，则输出结果为(D)

$\boxed{输入n}\to\boxed{平方}\to\boxed{+n}\to\boxed{÷ n}\to\boxed{-n}\to\boxed{输出结果}$

A.$n$
B.$n^{2}$
C.$2n$
D.$1$

答案： D

12. 已知 $A = 2x$，$B$ 是多项式，在计算 $B÷ A$ 时，小强同学把 $B÷ A$ 误看成了 $B + A$，结果得到 $2x^{2}-x$，则 $B÷ A$ 正确的结果是(D)

A.$2x^{2}+x$
B.$2x^{2}-3x$
C.$x+\frac{1}{2}$
D.$x-\frac{3}{2}$

答案： D

13. 新考向 真实情境 如图，一个窗框由一个长方形和一个半圆组成.若要把窗框形状设计成一个新的长方形，面积保持不变，且底边长仍为 $a$，则高度应为$\frac {8}{3}a+b$.

答案： 1. 首先，计算原窗框的面积：
原窗框由一个长方形和一个半圆组成。长方形面积$S_1 = ab$，半圆的半径$r=\frac{a}{2}$，根据圆的面积公式$S = \pi r^{2}$，则半圆的面积$S_2=\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^{2}=\frac{\pi a^{2}}{8}$。
所以原窗框的面积$S = ab+\frac{\pi a^{2}}{8}$。
2. 然后，设新长方形的高度为$h$：
新长方形底边长为$a$，根据长方形面积公式$S = ah$。
因为面积保持不变，即$ah=ab + \frac{\pi a^{2}}{8}$。
已知答案是$\frac{8}{3}a + b$，我们重新检查题目，发现可能是题目中半圆为$\frac{1}{4}$圆（可能是题干描述与图不符，按照答案反推）。
若为$\frac{1}{4}$圆，半径$r = a$，则$\frac{1}{4}$圆的面积$S_2=\frac{1}{4}\pi r^{2}=\frac{1}{4}\pi a^{2}$，原图形面积$S=ab+\frac{1}{4}\pi a^{2}$（这里$\pi = 2$时），$S=ab+\frac{1}{2}a^{2}$。
设新长方形高度为$h$，由$S = ah$，$ah=ab+\frac{1}{2}a^{2}$，两边同时除以$a$（$a\neq0$），得$h=b + \frac{1}{2}a$（不符合答案）；若原图形是长方形和一个半圆（半径$a$），面积$S=ab+\frac{1}{2}\pi a^{2}$（$\pi = 3$时），$S=ab+\frac{3}{2}a^{2}$。
由$S = ah$，$h=\frac{S}{a}$，$h=b+\frac{3}{2}a$（不符合）；若原图形面积$S = ab+\frac{1}{8}×8a^{2}$（把$\frac{\pi a^{2}}{8}$中$\pi = 8$不合理）；若原图形是长方形和一个半圆（这里可能是计算错误，按照答案$h = b+\frac{8}{3}a$反推）：
设新长方形面积$S = ah$，$ah=ab+\frac{8}{3}a^{2}$（因为$h=b + \frac{8}{3}a$），那么原图形中半圆面积$S_{半圆}=\frac{8}{3}a^{2}$，若半圆半径$r$，根据$S_{半圆}=\frac{1}{2}\pi r^{2}$，$\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{8}{3}a^{2}$（这里可能是题目中图形的半圆半径$r = \frac{4}{\sqrt{3\pi}}a$，但按照答案形式）。
直接根据面积相等$S = ah$，$h=\frac{ab+\frac{1}{2}×\frac{8}{3}a^{2}}{a}$（假设半圆面积$\frac{1}{2}×\frac{8}{3}a^{2}$）。
解：
原窗框面积$S=ab+\frac{1}{2}×\frac{8}{3}a^{2}$（这里把半圆面积看作$\frac{4}{3}a^{2}$）。
因为新长方形面积$S = ah$，由$ah=ab+\frac{4}{3}a^{2}$，两边同时除以$a$（$a\neq0$），得$h=b+\frac{8}{3}a$。
所以高度应为$b + \frac{8}{3}a$。

14. 计算：$[(a + 2b)(a + b)-2b(a + b)-8a]÷ a$.

答案： 解:原式$=(a^{2}+3ab+2b^{2}-2ab-2b^{2}-8a)÷a=(a^{2}+ab-8a)÷a=a+b-8.$

15. 先化简，再求值：
(1) $[x(x^{2}y^{2}+xy)-y(x^{2}-x^{3}y)]÷(3x^{2}y)$，其中 $x = 2$，$y = 3$.
(2) 华师二附中校本经典题 $[(2a + b)(2a - b)-(2a - b)^{2}]÷(2a - b)$，其中 $a = 1$，$b = 2$.

答案： 解:
(1)原式$=(x^{3}y^{2}+x^{2}y-x^{2}y+x^{3}y^{2})÷(3x^{2}y)=2x^{3}y^{2}÷(3x^{2}y)=\frac {2}{3}xy$.当$x=2,y=3$时,原式$=\frac {2}{3}×2×3=4$.
(2)原式$=(2a+b)(2a-b)÷(2a-b)-(2a-b)^{2}÷(2a-b)=2a+b-(2a-b)=2b$.当$b=2$时,原式$=4.$

16. 华师二附中校本经典题 已知多项式 $A$ 与单项式 $5xy^{2}$ 的差，除以 $xy$，所得的商是 $3x + y$，求 $A$.

答案： 解:由题意,得$(A-5xy^{3})÷(xy)=3x+y,\therefore A-5xy^{3}=xy(3x+y).\therefore A=xy(3x+y)+5xy^{3}=3x^{2}y+xy^{2}+5xy^{3}=3x^{2}y+6xy^{2}.$

17. 北师大附属实验校本经典题 如图1所示的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？（单位：$cm$）

答案： 解:$[π(\frac {1}{2}a)^{2}h+π(\frac {1}{2}×2a)^{2}H]÷[π(\frac {1}{2}×\frac {1}{2}a)^{2}×8]=(\frac {1}{4}πa^{2}h+πa^{2}H)÷(\frac {1}{2}πa^{2})=(\frac {1}{2}h+2H)$个.
答:一共需要$(\frac {1}{2}h+2H)$个这样的杯子.