《2025年通城学典全程测评卷七年级数学上册苏科版》

11. (15分)(2024·泰兴期末)课本196页有这样一个数学探究“鸡蛋饼的分割”,小明帮妈妈切鸡蛋饼的时候联想到一个数学问题：鸡蛋饼表面可以看作是一个圆,分割的每一刀都可以抽象为一条直线,鸡蛋饼的分割问题可转化为直线分平面区域的问题.
例：分割线的条数、分割线的最多交点个数、分割出的最多平面区域个数之间存在什么样的数量关系？为了解决这个问题,我们利用图和表格探索圆中分割线的条数$m$、分割线的最多交点个数$n$、圆被分割出的最多平面区域个数$t$之间的一般规律.
| | $m$ | $n$ | $t$ |
| 图① | 1 | 0 | 2 |
| 图② | 2 | 1 | 4 |
| 图③ | 3 | 3 | 7 |
| 图④ | 4 | $x$ | $y$ |


(1)如图④,请在图中用四条分割线将圆分割出最多的区域,并画出分割后的图形.
(2)将表格中的数据补充完整,$x=$6；$y=$11.
(3)猜想：圆中分割线的条数$m$、分割线的最多交点个数$n$、圆被分割出的最多平面区域个数$t$之间的数量关系为$t - m - n = 1$.
(4)根据上面的规律,你能用10条分割线将一个圆分割出57个平面区域吗？请说明理由.
不能，理由：2条分割线最多有1个交点，3条分割线最多有1+2=3（个）交点，4条分割线最多有1+2+3=6（个）交点，……，10条分割线最多有1+2+3+…+9=$\frac{1}{2}×(1 + 9)×9 = 45$（个）交点，由（3）可得，10条分割线将圆分割出的最多平面区域个数$t = m + n + 1 = 10 + 45 + 1 = 56$，因为56＜57，所以不能。

答案：
(1) 如图所示
(2) 6 11
(3) t-m-n=1 解析:当m=1时,n=0,t=2,则2-1-0=1;当m=2时,n=1,t=4,则4-2-1=1;当m=3时,n=3,t=7,则7-3-3=1;当m=4时,n=6,t=11,则11-4-6=1,所以t-m-n=1.
(4) 不能 理由:2条分割线最多有1个交点,3条分割线最多有1+2=3(个)交点,4条分割线最多有1+2+3=6(个)交点,5条分割线最多有1+2+3+4=10(个)交点,6条分割线最多有1+2+3+4+5=15(个)交点,$\cdots$,10条分割线最多有1+2+3+$\cdots$+9=$\frac{1}{2}×(1+9)×9=45$(个)交点,由
(3)可得,10条分割线将圆分割出的最多平面区域个数=m+n+1=10+45+1=56.因为56＜57,所以不能用10条分割线将一个圆分割出57个平面区域.