《2025年通城学典全程测评卷七年级数学上册苏科版》

10. (13分)如图,C是线段AB上一点,D为线段BC的中点,AB= 12,AC= 7.
(1) 求线段AD的长;
(2) 若E是直线AB上一点,且AE= 4,求线段DE的长.

答案：
（1）由题意,可得CD=DB=$\frac{1}{2}$BC.因为AB=12,AC=7,所以BC=AB-AC=12-7=5.所以CD=DB=2.5.所以AD=AC+CD=7+2.5=9.5（2）分两种情况讨论:① 如图①,当点E在线段AB上时,因为AE=4,所以EC=AC-AE=7-4=3.所以DE=EC+CD=3+2.5=5.5.② 如图②,当点E在BA的延长线上时,因为AE=4,所以DE=EA+AD=4+9.5=13.5.综上所述,DE的长为5.5或13.5

11. (13分)如图①,OC是一条射线,将一块三角板(∠OAB= 30°,∠OBA= 60°)的直角顶点放在点O处,∠BOC= 40°,将OC绕着点O按每秒15°的速度顺时针旋转360°.设旋转时间为t秒,分别作出∠BOC,∠AOC的平分线OE,OF.
(1) 当t= 0时,求∠AOF的度数;
(2) 当OC旋转至如图②所示的位置时,求∠EOF的度数;
(3) 在旋转过程中,当OE或OF中有一条射线与AB平行时,直接写出t的值.

答案：
（1）根据题意,得∠AOB=90°.因为∠BOC=40°,所以∠AOC=90°-∠BOC=90°-40°=50°.因为OF平分∠AOC,所以∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}×50°=25°$（2）将OC绕着点O按每秒15°的速度顺时针旋转360°,因为360°÷15°=24(秒),所以0≤t≤24.所以∠BOC=15°t+40°.所以∠AOC=∠BOC-∠AOB=15°t+40°-90°=15°t-50°.因为OE,OF分别平分∠BOC,∠AOC,所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}(15°t+40°)$,∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}(15°t-50°)$.所以∠EOF=∠EOC-∠COF=$\frac{1}{2}(15°t+40°)-\frac{1}{2}(15°t-50°)=45°$.所以∠EOF的度数为45°（3）t的值为$\frac{22}{3}$或$\frac{40}{3}$ 解析:如图①,当OF//AB时,因为∠OAB=30°,所以∠AOF=∠OAB=30°.因为OF平分∠AOC,所以∠AOC=2∠AOF=2×30°=60°.所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°,即15°t+40°=150°,解得t=$\frac{22}{3}$.如图②,当OE//AB时,因为∠OBA=60°,所以∠BOE=∠OBA=60°.因为OE平分∠BOC,所以∠BOC=2∠BOE=2×60°=120°.所以15°t+40°=360°-120°,解得t=$\frac{40}{3}$.综上所述,在旋转过程中,当OE或OF中有一条射线与AB平行时,t的值为$\frac{22}{3}$或$\frac{40}{3}$.

12. (14分)某超市进行商品促销活动,一次性买够一定质量的牛肉就会有优惠,原价为50元/千克的牛肉按照如下活动进行售卖：
|一次性购买的质量|优惠金额|
|不超过30千克的部分|按原价优惠15%|
|超过30千克,但不超过50千克的部分|按原价优惠20%|
|超过50千克的部分|先按原价优惠25%,再优惠50元|
(1) 某餐馆打算一次性购买牛肉45千克,若在促销期间购买,则该餐馆会比按原价购买节省多少钱?
(2) 若某顾客打算一次性购买牛肉a千克,请用含a的代数式表示促销期间这个顾客的花费.
(3) 促销期间,某校食堂准备购买80千克牛肉,采购员计划了两种购买方案：
方案一:一次性购买牛肉80千克；
方案二:分两次购买,每次购买牛肉40千克.
试判断哪种方案划算,并计算出按照两种方案购买相差的金额.

答案： （1）因为30＜45＜50,所以50×30×15%+(45-30)×50×20%=375(元).所以该餐馆会比按原价购买节省375元 （2）当a≤30时,该顾客的花费为50×(1-15%)a=42.5a(元);当30＜a≤50时,该顾客的花费为30×50×(1-15%)+(a-30)×50×(1-20%)=(40a+75)元;当a＞50时,该顾客的花费为30×50×(1-15%)+(50-30)×50×(1-20%)+(a-50)×50×(1-25%)-50=(37.5a+150)元（3）方案一花费:37.5×80+150=3150(元),方案二花费:2×(40×40+75)=3350(元).因为3150＜3350,所以方案一划算,相差3350-3150=200(元)