《2025年通城学典全程测评卷七年级数学上册苏科版》

24. (12分)将一副三角板按如图①所示的方式放置.在△ABC中,∠C= 90°,∠BAC= 30°;在△ADE中,∠E= 90°,∠DAE= 45°.点C,A,E在同一条直线上.现△ADE保持不动,将△ABC以每秒6°的速度绕点A顺时针旋转,旋转时间为t秒.
(1) 如图①,∠BAE= 150°;如图②,当t= 5时,∠CAD= 105°;
(2) 在旋转的过程中,若0＜t≤25,当∠BAE= 2∠CAD时,求t的值;
分两种情况:① 如图①,当AC在AD的左边时,由题意,得∠CAC'=(6t)°.因为∠BAE=2∠CAD,所以180 - 6t - 30=2(180 - 6t - 45),解得t=20.② 如图②,当AC在AD的右边时,由题意,得∠CAC'=(6t)°.因为∠BAE=2∠CAD,所以180 - 6t - 30=2[6t - (180 - 45)],解得t=$\frac{70}{3}$.综上所述,t的值为20或$\frac{70}{3}$.
(3) 在△ABC绕点A旋转的过程中,若△ADE同时以每秒2°的速度绕点A顺时针旋转,且0＜t≤60,当BC//AD时,请直接写出t的值.$\frac{45}{4}$或$\frac{225}{4}$

答案： （1）150° 105° 解析:∠BAE=180° - 30°=150°,∠CAD=180° - 45° - 5×6°=105°.（2）分两种情况:① 如图①,当AC在AD的左边时,由题意,得∠CAC'=(6t)°.因为∠BAE=2∠CAD,所以180 - 6t - 30=2(180 - 6t - 45),解得t=20.② 如图②,当AC在AD的右边时,由题意,得∠CAC'=(6t)°.因为∠BAE=2∠CAD,所以180 - 6t - 30=2[6t - (180 - 45)],解得t=$\frac{70}{3}$.综上所述,t的值为20或$\frac{70}{3}$.（3）t的值为$\frac{45}{4}$或$\frac{225}{4}$ 解析:分两种情况:如图③,因为BC//AD,所以易得∠B=∠BAD=60°.所以6t+30+60+45=180+2t,解得t=$\frac{45}{4}$.如图④,因为BC//AD,所以∠CAD=∠C=90°.所以6t - 180=90+2t - 45,解得t=$\frac{225}{4}$.