《2025年通城学典全程测评卷七年级数学上册苏科版》

23. (10分)新考法 探究题 (2024·盐城期末)同一平面内,将三角板COD的直角顶点O落在直线AB上,三角板可绕点O顺时针旋转,射线OE平分∠BOC,设∠AOC= α(0°＜α＜180°).
【特例感知】
(1) 当∠AOC= 80°时,∠DOE的度数为40°.
(2) 当∠DOE= 35°时,∠AOC的度数为70°.
(3) 如图①,当0°＜α＜90°时,∠DOE的度数为$\frac{1}{2}$α(用含α的代数式表示).
【深入探究】
(4) 如图②,当90°＜α＜180°时,∠AOC与∠DOE之间有怎样的数量关系?
因为∠AOC=α,所以∠BOC=180°−α.因为OE平分∠BOC,所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(180°−α).因为∠COD=90°,所以∠DOE=∠COD−∠COE=90°−$\frac{1}{2}$(180°−α)=$\frac{1}{2}$α.所以∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC
【结论应用】
(5) 如图③,同一平面内,将三角板FOG的一条直角边OF放在直线AB上,将三角板FOG绕直角顶点O以每秒3°的速度逆时针旋转t秒(0＜t＜60),OH平分∠AOF,OK平分∠FOG(如图④).当旋转时间为多少秒时,∠HOK= 1/3∠FOG?
由题意,得∠BOF=(3t)°,又由特例感知可得,∠GOH=$\frac{1}{2}$∠BOF=($\frac{3}{2}$t)°.因为OK平分∠FOG,所以∠GOK=$\frac{1}{2}$∠GOF=45°.所以∠HOK=∠GOK−∠GOH=45°−($\frac{3}{2}$t)°.因为∠HOK=$\frac{1}{3}$∠FOG,所以45−$\frac{3}{2}$t=$\frac{1}{3}$×90,解得t=10.当旋转时间为10秒时，∠HOK=$\frac{1}{3}$∠FOG

答案：
(1)40°　
(2)70°　
(3)$\frac{1}{2}$α　
(4)因为∠AOC=α,所以∠BOC=180°−α.因为OE平分∠BOC,所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(180°−α).因为∠COD=90°,所以∠DOE=∠COD−∠COE=90°−$\frac{1}{2}$(180°−α)=$\frac{1}{2}$α.所以∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC　
(5)由题意,得∠BOF=(3t)°,又由特例感知可得,∠GOH=$\frac{1}{2}$∠BOF=($\frac{3}{2}$t)°.因为OK平分∠FOG,所以∠GOK=$\frac{1}{2}$∠GOF=45°.所以∠HOK=∠GOK−∠GOH=45°−($\frac{3}{2}$t)°.因为∠HOK=$\frac{1}{3}$∠FOG,所以45−$\frac{3}{2}$t=$\frac{1}{3}$×90,解得t=10.当旋转时间为10秒时，∠HOK=$\frac{1}{3}$∠FOG