《2025年通城学典全程测评卷七年级数学上册苏科版》

24. (12分)(2024·盐城亭湖期中)日常生活中,人们经常面临需要排队的情形,某小组想要知道是否可以通过安排排队方式的方法让人们的排队时间更短.
实验研究:现有一个办事窗口,人们需要排队进行办公,每个人办事的时间称为他自身的办公时间,一个人除去自身办公以外所需消耗时间称为这个人的排队时间.例如:若第一个人的办公时间为3,第二个人的办公时间为4,则第一个人的排队时间为0,第二个人的排队时间为3,第三个人的排队时间为7.不难发现,对每个人来说满足排队时间最短的方式是排在队伍的首位,这时排队时间为0,但这对每个人来说不能同时满足.于是该小组希望研究出最合适的安排,可以使所有人的总排队时间最短.
假设现在有甲、乙、丙三人需要排队办公,他们的办公时间分别为18,25,27.
(1) 数据计算:对三种排队方案进行计算比较.
① 方案一:排队方式顺次为甲、乙、丙,则总排队时间为61;
方案二:排队方式顺次为乙、丙、甲,则总排队时间为77;
方案三:排队方式顺次为丙、乙、甲,则总排队时间为79.
② 实验结论:对比可知,方案一的总排队时间最短(填“一”“二”或“三”).
(2) 推广证明:甲、乙、丙三人排队办公,他们的办公时间分别为a,b,c(其中$a＜b＜c$),请给出所有的排队方案,从中选出总排队时间最短的方案并证明.
方案一:排队方式顺次为甲、乙、丙，则总排队时间为2a + b；方案二:排队方式顺次为甲、丙、乙，则总排队时间为2a + c；方案三:排队方式顺次为乙、甲、丙，则总排队时间为a + 2b；方案四:排队方式顺次为乙、丙、甲，则总排队时间为2b + c；方案五:排队方式顺次为丙、甲、乙，则总排队时间为a + 2c；方案六:排队方式顺次为丙、乙、甲，则总排队时间为b + 2c。方案一的总排队时间最短　因为(2a + b) - (2a + c) = b - c ＜ 0，所以方案一比方案二总排队时间短。因为(2a + b) - (a + 2b) = a - b ＜ 0，所以方案一比方案三总排队时间短。因为(2a + b) - (2b + c) = (a - b) + (a - c) ＜ 0，所以方案一比方案四总排队时间短。因为(2a + b) - (a + 2c) = (a - c) + (b - c) ＜ 0，所以方案一比方案五总排队时间短。因为(2a + b) - (b + 2c) = 2(a - c) ＜ 0，所以方案一比方案六总排队时间短。综上所述，方案一的总排队时间最短。

答案：
(1)①61　77　79　②一；
(2)方案一:排队方式顺次为甲、乙、丙，则总排队时间为2a + b；方案二:排队方式顺次为甲、丙、乙，则总排队时间为2a + c；方案三:排队方式顺次为乙、甲、丙，则总排队时间为a + 2b；方案四:排队方式顺次为乙、丙、甲，则总排队时间为2b + c；方案五:排队方式顺次为丙、甲、乙，则总排队时间为a + 2c；方案六:排队方式顺次为丙、乙、甲，则总排队时间为b + 2c。方案一的总排队时间最短　因为(2a + b) - (2a + c) = b - c ＜ 0，所以方案一比方案二总排队时间短。因为(2a + b) - (a + 2b) = a - b ＜ 0，所以方案一比方案三总排队时间短。因为(2a + b) - (2b + c) = (a - b) + (a - c) ＜ 0，所以方案一比方案四总排队时间短。因为(2a + b) - (a + 2c) = (a - c) + (b - c) ＜ 0，所以方案一比方案五总排队时间短。因为(2a + b) - (b + 2c) = 2(a - c) ＜ 0，所以方案一比方案六总排队时间短。综上所述，方案一的总排队时间最短。