《2025年通城学典全程测评卷七年级数学上册苏科版》

6. 规定：符号$[x]$叫作取整符号,它表示不超过$x$的最大整数.例如：$[5]= 5$,$[2.6]= 2$,$[0.2]= 0$.现在有一列非负数$a_1,a_2,a_3,…$,已知$a_1= 10$,当$n\geq2$时,$a_n= a_{n-1}+1-5([\frac{n-1}{5}]-[\frac{n-2}{5}])$,则$a_{2024}$的值为______13.

答案： 13

7. 新情境 游戏活动 甲、乙两人玩报数游戏,其规则是从1开始两人轮流连续报数,每人每次最少报1个数,最多可以连续报4个数(如,第一个人先报“1,2”,则另一个人可以有“3”,“3,4”,“3,4,5”,“3,4,5,6”四种报数方法),谁抢先报到“2024”则谁获胜.若从甲开始报,则甲要想必胜,第一次报的数的个数应该是4.

答案： 4

8. (2024·常州期中)小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数,若它是奇数,则乘3加上1,若它是偶数,则除以2.通过对输出结果的观察,他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少,按此规则经过若干次运算后都可得到1.例如：如图,输入自然数5,最少经过5次运算后可得到1.若一个自然数$a$恰好经过7次运算后得到1,则所有符合条件的$a$的最小值为3.

答案： 3

9. (14分)把数用大括号围起来,如：$\{2\}$,$\{-1.5,0\}$,我们称之为“集”,其中大括号内的数称其为“集”的元素.如果一个“集”满足只要其中有一个元素$a$,使得$-2a+4$还是这个“集”的元素,这样的“集”我们称之为“回归集”.
(1)“集”$\{0,4\}$是“回归集”,“集”$\{-1,0,3\}$不是“回归集”(填“是”或“不是”).
(2)若“集”$\{1,n\}$是“回归集”,求$n$的所有可能值.$2,\frac{3}{2},\frac{4}{3}$
(3)现有三个“集”$A,B,C$都是“回归集”,元素个数分别为1,2,3,且这三个“集”含有相同的元素$t$.若这三个“集”的6个元素之和为0,且“集”$B$中含有元素1,直接写出“集”$C中除t$之外的另外两个元素之和是-5.

答案：
(1) 是 不是 解析:因为-2×0+4=4,4是“集”{0,4}的元素,所以“集”{0,4}是“回归集”.因为-2×(-1)+4=6,6不是“集”{-1,0,3}的元素,-2×0+4=4,4不是“集”{-1,0,3}的元素,-2×3+4=-2,-2不是“集”{-1,0,3}的元素,所以“集”{-1,0,3}不是“回归集”.
(2) 分三种情况讨论:①n=-2×1+4=2;②-2n+4=1,则$n=\frac{3}{2}$;③-2n+4=n,则$n=\frac{4}{3}$.综上所述,n的可能值有$2,\frac{3}{2},\frac{4}{3}$.
(3) -5 解析:因为“集”A{t},且是“回归集”,所以-2t+4=t,解得$t=\frac{4}{3}$.所以“集”$A\left\{\frac{4}{3}\right\}$.因为“集”B中含有元素1,所以“集”$B\left\{\frac{4}{3},1\right\}$.因为“集”C中含有元素$\frac{4}{3}$和另外两个元素,且这三个“集”的6个元素之和为0,所以设“集”C中除t之外的另外两个元素之和为x.所以$\frac{4}{3}×3+1+x=0$,解得x=-5.

10. (15分)我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,解决问题的策略一般都是进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.作差法就是通过作差、变形,利用差的符号确定它们的大小,即要比较代数式$A,B$的大小,只要计算$A-B$的值,若$A-B＞0$,则$A＞B$；若$A-B= 0$,则$A= B$；若$A-B＜0$,则$A＜B$.
用上述方法,解决下列问题：
(1)比较大小：$x-1$＞ $x-3$.
(2)当$x＞y$时,比较$3x+5y与2x+6y$的大小,并说明理由.
3x+5y＞2x+6y 理由:3x+5y-(2x+6y)=3x+5y-2x-6y=x-y,因为x＞y,所以x-y＞0.所以3x+5y＞2x+6y.
(3)图①是边长为4的正方形,将正方形的一组对边保持不变,另一组对边增加$2a(a＞0)$得到如图②所示的长方形,此长方形的面积为$S_1$；将正方形的边长增加$a$,得到如图③所示的大正方形,此时大正方形的面积为$S_2= 16+8a+a^2$.请判断$S_1与S_2$的大小关系,并说明理由.
$S_{1}＜S_{2}$ 理由:因为$S_{1}=4(4+2a)=16+8a$,$S_{2}=16+8a+a^{2}$,所以$S_{1}-S_{2}=(16+8a)-(16+8a+a^{2})=-a^{2}＜0$.所以$S_{1}＜S_{2}$.

答案：
(1) ＞ 解析:因为(x-1)-(x-3)=x-1-x+3=2＞0,所以x-1＞x-3.
(2) 3x+5y＞2x+6y 理由:3x+5y-(2x+6y)=3x+5y-2x-6y=x-y,因为x＞y,所以x-y＞0.所以3x+5y＞2x+6y.
(3) $S_{1}＜S_{2}$ 理由:因为$S_{1}=4(4+2a)=16+8a$,$S_{2}=16+8a+a^{2}$,所以$S_{1}-S_{2}=(16+8a)-(16+8a+a^{2})=-a^{2}＜0$.所以$S_{1}＜S_{2}$.