《2025年通城学典全程测评卷七年级数学上册苏科版》

12. (15分)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微.”因此我们解决有关“数”的问题时,可以借助“形”,让问题变得直观.
(1)如图,将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分,部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半,部分②的面积是部分①的面积的一半,部分③的面积是部分②的面积的一半……以此类推.请你借助这个图形计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}=$$1 - \frac{1}{2^{n}}$.
(2)请你照样子设计一个图形并计算：$\frac{3}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{3}{4^3}+…+\frac{3}{4^{10}}$.如图,设计一个边长为1的正方形,将其分成四等份,取其中的三份,这部分的面积为$\frac{3}{4}$,在图中用数字1表示这部分,然后将剩下的分成四等份,取其中的三份,这部分的面积是$\frac{3}{4^{2}}$,在图中用数字2表示,再将剩下的分成四等份,取其中的三份,这部分的面积是$\frac{3}{4^{3}}$,在图中用数字3表示……以此类推.所以$\frac{3}{4}+\frac{3}{4^{2}}+\frac{3}{4^{3}}+\dots +\frac{3}{4^{10}}=1-\frac{1}{4^{10}}$
(3)运用上面的结论,试求$\frac{5}{6}+\frac{11}{12}+\frac{23}{24}+\frac{47}{48}+\frac{95}{96}+\frac{191}{192}$.原式 = $(1-\frac{1}{6})+(1-\frac{1}{12})+(1-\frac{1}{24})+(1-\frac{1}{48})+(1-\frac{1}{96})+(1-\frac{1}{192})=1×6-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}-\frac{1}{24}-\frac{1}{48}-\frac{1}{96}-\frac{1}{192}=6-(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\frac{1}{48}+\frac{1}{96}+\frac{1}{192})=6-\frac{1}{3}×(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64})=6-\frac{1}{3}×(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}+\frac{1}{2^{6}})=6-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{2^{6}})=6-\frac{1}{3}×\frac{63}{64}=\frac{363}{64}$

答案：
(1)1 - $\frac{1}{2^{n}}$　
(2)如图,设计一个边长为1的正方形,将其分成四等份,取其中的三份,这部分的面积为$\frac{3}{4}$,在图中用数字1表示这部分,然后将剩下的分成四等份,取其中的三份,这部分的面积是$\frac{3}{4^{2}}$,在图中用数字2表示,再将剩下的分成四等份,取其中的三份,这部分的面积是$\frac{3}{4^{3}}$,在图中用数字3表示……以此类推.所以$\frac{3}{4}+\frac{3}{4^{2}}+\frac{3}{4^{3}}+\dots +\frac{3}{4^{10}}=1-\frac{1}{4^{10}}$　
(3)原式 = $(1-\frac{1}{6})+(1-\frac{1}{12})+(1-\frac{1}{24})+(1-\frac{1}{48})+(1-\frac{1}{96})+(1-\frac{1}{192})=1×6-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}-\frac{1}{24}-\frac{1}{48}-\frac{1}{96}-\frac{1}{192}=6-(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\frac{1}{48}+\frac{1}{96}+\frac{1}{192})=6-\frac{1}{3}×(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64})=6-\frac{1}{3}×(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}+\frac{1}{2^{6}})=6-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{2^{6}})=6-\frac{1}{3}×\frac{63}{64}=\frac{363}{64}$

13. (20分)数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起了对应关系,揭示了数与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基础.小明在草稿纸上画了一条数轴进行以下操作探究：
操作一：
(1)折叠数轴,若表示数1的点与表示数-1的点重合,则表示数-2的点与表示数2的点重合,表示数a的点与表示数-a的点重合.
操作二：
(2)折叠数轴,表示数-2的点与表示数6的点重合,回答下列问题：
① 表示数2023的点与表示数-2019的点重合；
② 数轴上A,B两点之间的距离为20,其中点A在点B的左侧,若A,B两点折叠后重合,则点A表示的数是-8,点B表示的数是12；
③ 在②的条件下,若数轴上点M表示的数是m,经折叠与点N重合,则点N到点B的距离为|m + 8|.
操作三：
(3)在数轴上剪下10个单位长度(从-2到8)的一条线段,并把这条线段沿某点折叠,然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段.若这三条线段的长度之比为1:2:2,则折痕处对应的点表示的数是2或3或4.

答案：
(1)2 - a 解析:因为折叠数轴,表示数1的点与表示数 - 1的点重合,所以折痕为原点所在位置.所以表示数 - 2的点与表示数2的点重合,表示数a的点与表示数 - a的点重合.
(2)① - 2019 解析:因为折叠数轴,表示数 - 2的点与表示数6的点重合,所以折痕为表示数$\frac{-2 + 6}{2}=2$的点所在位置.所以表示数2023的点与折痕点的距离为2023 - 2 = 2021.所以折叠数轴,与表示数2023的点重合的点表示的数是2 - 2021 = - 2019. ② - 8 12 解析:因为点A在点B的左侧,所以点B表示的数大于点A表示的数.因为数轴上A,B两点之间的距离为20,A,B两点折叠后重合,所以点A,B到折痕点的距离均为$\frac{20}{2}=10$.所以点A表示的数为2 - 10 = - 8,点B表示的数为2 + 10 = 12. ③|m + 8| 解析:设点N表示的数是n.因为数轴上点M表示的数是m,经折叠与点N重合,所以$\frac{m + n}{2}=2$,解得n = 4 - m.因为点B表示的数是12,所以点N到点B的距离为|12 - (4 - m)| = |m + 8|.
(3)2或3或4 解析:如图①,当CE:EF:FD = 1:2:2时,因为CD = 8 - (- 2) = 10,所以CE = $\frac{1}{1 + 2 + 2}·$CD = $\frac{1}{5}×10 = 2$,EF = $\frac{2}{1 + 2 + 2}$CD = $\frac{2}{5}×10 = 4$.所以点E表示的数为 - 2 + 2 = 0,点F表示的数为0 + 4 = 4.所以折痕处对应的点表示的数是$\frac{0 + 4}{2}=2$.如图②,当EF:CE:FD = 1:2:2时,因为CD = 8 - (- 2) = 10,所以CE = $\frac{2}{1 + 2 + 2}$CD = $\frac{2}{5}×10 = 4$,CF = $\frac{1 + 2}{1 + 2 + 2}$CD = $\frac{3}{5}×10 = 6$.所以点E表示的数为 - 2 + 4 = 2,点F表示的数为 - 2 + 6 = 4.所以折痕处对应的点表示的数是$\frac{2 + 4}{2}=3$.如图③,当FD:CE:EF = 1:2:2时,因为CD = 8 - (- 2) = 10,所以CE = $\frac{2}{1 + 2 + 2}$CD = $\frac{2}{5}×10 = 4$,CF = $\frac{2 + 2}{1 + 2 + 2}·$CD = $\frac{4}{5}×10 = 8$.所以点E表示的数为 - 2 + 4 = 2,点F表示的数为 - 2 + 8 = 6.所以折痕处对应的点表示的数是$\frac{2 + 6}{2}=4$.综上所述,折痕处对应的点表示的数是2或3或4.