《2025年通城学典全程测评卷七年级数学上册苏科版》

24. (12分)新考法 过程性学习 (2024·泰州姜堰期中)根据下面的素材,探索完成任务.
|校内小型植物园规划设计表| |
|素材1|如图①所示为一块边长为a米的正方形场地ABCD,某校拟在这块正方形场地ABCD上修建一个小型植物园,并沿着植物园的外围修建一圈观赏走廊.观赏走廊的长度即为植物园的周长(忽略走廊宽度).|
|素材2|通过在师生中广泛收集并投票选出如下两个方案作为备选方案:方案一:拟在这块正方形场地ABCD上修建一个如图②所示的涂色部分的圆形植物园.记植物园外围的观赏走廊的长度为m米.方案二:拟在这块正方形场地ABCD上修建一个如图③所示的涂色部分的植物园,四周空白部分是半径相同的扇形,设圆的半径为ka米,其中k为大于0且小于$\frac{1}{2}$的常数.记植物园外围的观赏走廊的长度为n米.|
|问题解决| |
|任务1(判断方案)|(1)用含a的代数式表示方案一(如图②)中的m= ______(结果保留π);(2)求出方案二中的n的大小(用含a和k的代数式表示,结果保留π);(3)试判断哪个方案中的观赏走廊更长,并说明理由(π取3).|
|任务2(确定方案)|(4)结合实际情况,需要观赏走廊的长度大于πa米,还要植物园的面积小于正方形场地面积的$\frac{7}{8}$,请你参照备选方案,设计一个满足条件的方案,画出草图,并在图中标出具体的数据(画出一个符合条件的图即可,π取3).|

答案：

(1)πa
(2)由题意,得n=2πka+4(a-2ka)=2πka+4a-8ka
(3)方案二中的观赏走廊更长 理由:由
(1)
(2),得m=3a,n=6ka+4a-8ka=4a-2ka,因为0＜k＜$\frac{1}{2}$,所以0＜2k＜1.n=4a-2ka＞3a.所以n＞m.所以方案二中的观赏走廊更长.
(4)如图所示(答案不唯一)
　　　　　　　　
解析:因为$\frac{S_{涂色}}{S_{正方形}}$＜$\frac{7}{8}$,所以$\frac{S_{空白}}{S_{正方形}}$＞$\frac{1}{8}$,即$\frac{πk^{2}a^{2}}{a^{2}}$＞$\frac{1}{8}$,解得k²＞$\frac{1}{24}$.可令k=$\frac{1}{4}$,该图即为所求作.