《2025年通城学典全程测评卷七年级数学上册苏科版》

13. (12分)给出如下定义：对于有理数对(a,b),我们称使等式a-b= ab+5成立的一对有理数(a,b)是“有趣数对”.如：1-(-2)= 1×(-2)+5= 3,2-(-1)= 2×(-1)+5= 3,所以数对(1,-2),(2,-1)都是“有趣数对”.
(1)有理数对(-3,4)和(4,-3),其中是“有趣数对”的为(-3,4)；
(2)若(x+2,5)是“有趣数对”,求x的值；
由题意可得x+2-5=(x+2)×5+5,解得x=-4.5
(3)若(x,y)是“有趣数对”,求2(x+y-2xy)-4x+6xy+3的值.
因为(x,y)是"有趣数对",所以x-y=xy+5.所以x-y-5=xy.所以原式=2[x+y-2(x-y-5)]-4x+6(x-y-5)+3=2(x+y-2x+2y+10)-4x+6x-6y-30+3=2(-x+3y+10)+2x-6y-27=-2x+6y+20+2x-6y-27=20-27=-7

答案： （1）(-3,4) 解析:因为对于有理数对(a,b),我们称使等式a-b=ab+5成立的一对有理数(a,b)为"有趣数对",所以对于(-3,4),-3-4=-3×4+5=-7,符合"有趣数对".对于(4,-3),4-(-3)=7,4×(-3)+5=-7,4-(-3)≠4×(-3)+5,不符合"有趣数对".
（2）由题意可得x+2-5=(x+2)×5+5,解得x=-4.5 （3）因为(x,y)是"有趣数对",所以x-y=xy+5.所以x-y-5=xy.所以原式=2[x+y-2(x-y-5)]-4x+6(x-y-5)+3=2(x+y-2x+2y+10)-4x+6x-6y-30+3=2(-x+3y+10)+2x-6y-27=-2x+6y+20+2x-6y-27=20-27=-7

14. (14分)勤奋好学的小丽发明了降次小魔方,可以将二次多项式降次为一次多项式.规则如下：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘,其积作为一次多项式N的一次项系数,二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项,二次多项式M的常数项变为0.如：二次多项式$M= 3x^2+4x+1$经过小魔方后,可以降次为一次多项式N= 6x+4.
(1)若$A= 6x^2-2x+5,$经过小魔方后的多项式B= ______12x-2；
(2)若$A= 4x^2+3(x-6),$经过小魔方后的多项式记为B,若A-mB的结果中不含关于x的一次项,求常数m的值；
根据小魔方的规则,得B=8x+3,所以A-mB=4x²+3(x-6)-m(8x+3)=4x²+(3-8m)x-(18+3m).因为A-mB的结果中不含关于x的一次项,所以3-8m=0,解得m=3/8
$(3)A= (a-2)x^2-(4+b)x+1(a,b$为常数),经过小魔方后的多项式记为B,若方程B= 3x+5b有无数个解,分别求a,b的值.
根据小魔方的规则,得B=2(a-2)x-(4+b).因为B=3x+5b,所以2(a-2)x-(4+b)=3x+5b,整理得(2a-7)x=6b+4.又因为方程B=3x+5b有无数个解,所以方程(2a-7)x=6b+4有无数个解.所以2a-7=0,6b+4=0,解得a=7/2,b=-2/3

答案： （1）12x-2 （2）根据小魔方的规则,得B=8x+3,所以A-mB=4x²+3(x-6)-m(8x+3)=4x²+(3-8m)x-(18+3m).因为A-mB的结果中不含关于x的一次项,所以3-8m=0,解得m=3/8 （3）根据小魔方的规则,得B=2(a-2)x-(4+b).因为B=3x+5b,所以2(a-2)x-(4+b)=3x+5b,整理得(2a-7)x=6b+4.又因为方程B=3x+5b有无数个解,所以方程(2a-7)x=6b+4有无数个解.所以2a-7=0,6b+4=0,解得a=7/2,b=-2/3