《2025年通城学典全程测评卷七年级数学上册苏科版》

24. (12分)(2024·兴化期末)综合实践.
【知识发现】
著名哲学家泰勒斯最早从拼图实践中发现了"三角形内角和等于180°",但这种发现完全是经验性的,泰勒斯并没有给出严格的证明.之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明.其中欧几里得利用辅助平行线和延长线,通过一组同位角和内错角相等证明了该定理.请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整.
(1) 如图①,在△ABC中,试说明:∠A+∠B+∠ACB= 180°.
延长线段BC至点F,并过点C作CE//AB.
因为CE//AB,所以∠A= ∠1,∠B= ∠2.
因为∠1+∠2+∠ACB= 180°,所以∠A+∠B+∠ACB= 180°.
【结论应用】
(2) 如图②,有∠AOB,点H,Q分别在OA,OB上,连接HQ,作∠OQH的平分线MQ交OA于点M,过点M作MN//HQ交OB于点N.若∠OQH= 100°,∠OMN= 48°,求∠AOB的度数.
因为MN//HQ,所以∠OHQ=∠OMN=48°.因为∠OQH=100°,所以∠AOB=180°−48°−100°=32°
【拓展延伸】
(3) 如图③,在(2)的条件下,若OA绕点O逆时针旋转,交直线FN于点E,作∠OEF的平分线ED交射线QM于点D,则在旋转的过程中,∠EDQ/∠A'OB的值是否发生变化?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.
在旋转的过程中,$\frac{∠EDQ}{∠A'OB}$的值没有发生变化　设∠AOA'=α,则∠A'OB=α+32°.因为MN//HQ,所以∠ONF=∠OQH=100°.因为DE平分∠OEF,所以∠OED=∠DEF.由题意易得180°−∠OEN=∠OEF=∠A'OB+∠ONF=α+32°+100°,180°−∠DEN=∠DEF=∠EDQ+∠DME.因为QH//MN,MQ平分∠OQH,所以∠NMQ=∠MQH=$\frac{1}{2}$∠OQH=50°.因为∠DME=∠NMQ,所以∠DME=50°.所以$\frac{α+32°+100°}{2}$=∠EDQ+50°.所以∠EDQ=$\frac{α + 32°}{2}$,因为∠A'OB=α+32°,所以$\frac{∠EDQ}{∠A'OB}$=$\frac{1}{2}$

答案：
(1)∠A　∠B　
(2)因为MN//HQ,所以∠OHQ=∠OMN=48°.因为∠OQH=100°,所以∠AOB=180°−48°−100°=32°　
(3)在旋转的过程中,$\frac{∠EDQ}{∠A'OB}$的值没有发生变化　设∠AOA'=α,则∠A'OB=α+32°.因为MN//HQ,所以∠ONF=∠OQH=100°.因为DE平分∠OEF,所以∠OED=∠DEF.由题意易得180°−∠OEN=∠OEF=∠A'OB+∠ONF=α+32°+100°,180°−∠DEN=∠DEF=∠EDQ+∠DME.因为QH//MN,MQ平分∠OQH,所以∠NMQ=∠MQH=$\frac{1}{2}$∠OQH=50°.因为∠DME=∠NMQ,所以∠DME=50°.所以$\frac{α+32°+100°}{2}$=∠EDQ+50°.所以∠EDQ=$\frac{α + 32°}{2}$,因为∠A'OB=α+32°,所以$\frac{∠EDQ}{∠A'OB}$=$\frac{1}{2}$