《2025年通城学典全程测评卷七年级数学上册苏科版》

23. (10分)(2024·常州武进期中)如图,$O$为原点,数轴上$A$,$B$两点之间的距离是15,且点$A$,$B到原点的距离之比为3:2$.
(1)点$A$,$B$对应的数分别为-9,6.
(2)点$A$,$B$分别以每秒4个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向右运动,点$P也同时从原点O$出发,以每秒7个单位长度的速度向右运动.若点$A与点P之间的距离表示为AP$,点$B与原点O之间的距离表示为OB$,点$P与原点O之间的距离表示为OP$,则是否存在常数$m$,使得$4AP+3OB-mOP$为定值?若存在,请求出$m$的值以及这个定值;若不存在,请说明理由.

存在，m=3，定值为54。设运动时间为t秒，则点A对应的数为 - 9 + 4t，点B对应的数为6 + 3t，点P对应的数为7t。所以AP = | - 9 + 4t - 7t| = 9 + 3t，OB = |0 - (6 + 3t)| = 6 + 3t，OP = |0 - 7t| = 7t。所以4AP + 3OB - mOP = 4(9 + 3t) + 3(6 + 3t) - m×7t = 36 + 12t + 18 + 9t - 7mt = (21 - 7m)t + 54。因为4AP + 3OB - mOP为定值，所以21 - 7m = 0，解得m = 3。此时4AP + 3OB - mOP = 54。

答案：
(1)-9　6；
(2)存在设运动时间为t秒,则点A对应的数为 - 9 + 4t,点B对应的数为6 + 3t,点P对应的数为7t.所以AP = | - 9 + 4t - 7t| = 9 + 3t,OB = |0 - (6 + 3t)| = 6 + 3t,OP = |0 - 7t| = 7t.所以4AP + 3OB - mOP = 4(9 + 3t) + 3(6 + 3t) - m×7t = 36 + 12t + 18 + 9t - 7mt = (21 - 7m)t + 54.因为4AP + 3OB - mOP为定值，所以21 - 7m = 0,解得m = 3.此时4AP + 3OB - mOP = 54