《2025年通城学典全程测评卷七年级数学上册苏科版》

24. (12分)新考法 探究题 综合与探究.
【概念学习】
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫作除方,比如$2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等.类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2写作2^{③}$,读作“2的圈3次方”;把$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)写作(-3)^{④}$,读作“-3的圈4次方”.一般地,$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}(a≠0)写作a^{n}$,读作“a的圈n次方”.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$4^{②}=$1,$(-\frac{1}{2})^{④}=$4.
(2)关于除方,下列说法错误的是(C)
A. 任意非零数的圈2次方都等于1
B. 对于任意正整数n,$1^{n}= 1$
C. $3^{④}= 4^{③}$
D. 负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘方运算.
【探究应用】
(3)试一试,仿照图中的算式,把下列除方运算直接写成幂的形式:$(-3)^{⑧}=$$\left(-\frac{1}{3}\right)^{⑥}$;$(\frac{1}{5})^{⑨}=$$5^{⑦}$;$a^{n}=$$\left(\frac{1}{a}\right)^{n-2}$.
(4)算一算:$12^{2}÷(-\frac{1}{3})^{④}×2^{③}-(\frac{1}{3})^{⑤}÷3^{3}.$
因为$\left(-\frac{1}{3}\right)^{\circledcirc 4}=(-3)^{2}=9$,$2^{\circledcirc 3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=\frac{1}{2}$,$\left(\frac{1}{3}\right)^{\circledcirc 5}=3^{3}$,所以原式$=12^{2}÷ 9×\frac{1}{2}-3^{3}÷ 3^{3}=144÷ 9×\frac{1}{2}-1=16×\frac{1}{2}-1=8-1=7$

答案：
(1)1 4 解析:$4^{②}=4÷ 4=1$,\left(-\frac{1}{2}\right)^{\④}=\left(-\frac{1}{2}\right)÷\left(-\frac{1}{2}\right)÷\left(-\frac{1}{2}\right)÷\left(-\frac{1}{2}\right)=1×(-2)×(-2)=4.;
(2)C 解析:A. 任意非零数的圈2次方都等于1,正确,所以A选项不符合题意. B. 对于任意正整数n,$1^{\circledcirc n}=1$,正确,所以B选项不符合题意. C.$3^{\circledcirc 4}=3÷ 3÷ 3÷ 3=\frac{1}{9}$,$4^{\circledcirc 3}=4÷ 4÷ 4=\frac{1}{4}$,$\frac{1}{9}\neq\frac{1}{4}$,错误,所以C选项符合题意. D. 负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数,正确,所以D选项不符合题意.;
(3)$\left(-\frac{1}{3}\right)^{⑥}$ $5^{⑦}$ $\left(\frac{1}{a}\right)^{n-2}$;
(4)因为$\left(-\frac{1}{3}\right)^{\circledcirc 4}=(-3)^{2}=9$,$2^{\circledcirc 5}=\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{16}$,$\left(\frac{1}{3}\right)^{\circledcirc 5}=3^{3}$,所以原式$=12^{2}÷ 9×\frac{1}{16}-3^{3}÷ 3^{3}=144÷ 9×\frac{1}{16}-1=0$