《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

13. (1)如图①,在$\triangle ABC$中,点$D是AB$边的中点,将$\triangle BDC沿CD翻折得到\triangle FDC$,连接$FA$、$FB$。
① 求证：$\triangle AFB$是直角三角形；
② 延长$FA$、$BC交于点E$,判断$CF与BE$的数量关系,并证明你的结论；
(2)如图②,已知在$\triangle ABC$中,点$D是AB$边的中点,点$E是BC$边上一点,将$\triangle BDE沿DE翻折得到\triangle FDE$,连接$FA$、$FB$。
① 判断$AF与DE$的位置关系,并证明你的结论；
② 若$AC// EF$,用等式表示线段$BE$、$CE$、$AC$之间的数量关系,并证明你的结论。

答案：
(1)①证明:因为点D是AB边的中点,所以AD=DB,由翻折可知AD=DB=DF,所以∠DBF=∠DFB,∠DAF=∠AFD,因为∠DBF+∠DFB+∠DAF+∠AFD=180°,所以∠DFB+∠AFD=90°,即∠AFB=90°,所以△AFB是直角三角形。②CF=$\frac{1}{2}$BE。证明:如图①,由翻折可知BC=CF,所以∠CFB=∠CBF。因为∠AFB=90°,所以∠CFA+∠CFB=90°,∠E+∠CBF=90°。所以∠E=∠CFA。所以CE=CF=CB。所以CF=$\frac{1}{2}$BE。
(2)①AF//DE。证明:如图②,延长ED交BF于点H。由翻折可知BE=EF,BD=DF。所以点E、D分别落在FB的垂直平分线上。所以ED垂直平分FB。所以∠DHB=90°。又因为点D是AB边的中点,所以AD=DB。所以AD=DB=DF。所以∠DAF=∠DFA,∠DFB=∠DBF。因为∠BAF+∠AFB+∠FBA=180°,所以∠AFB=90°。所以∠AFB=∠DHB。所以AF//DE。②BE=CE+AC。证明:如图③,延长FA、BC交于点G。由翻折可知BE=EF。所以∠EFB=∠EBF。因为∠AFB=90°,所以∠AFE+∠EFB=90°,∠G+∠FBE=90°,所以∠AFE=∠G。所以FE=GE=EB。因为AC//EF,所以∠GAC=∠AFE。所以∠GAC=∠G。所以AC=CG。因为GC+CE=GE=EB,所以CE+AC=BE。