《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

12 已知 $ m $、$ n $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2px + p^{2}-2p + 4 = 0 $ 的两个实数根,求 $ (m + 5)(n + 5) $ 的最小值。

答案： 因为$m$、$n$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2px+p^{2}-2p+4=0$的两个实数根,所以$m+n=2p$,$mn=p^{2}-2p+4$,所以$(m+5)(n+5)=mn+5(m+n)+25=p^{2}+8p+29=(p+4)^{2}+13$。因为方程有两个实数根,所以$\Delta=(-2p)^{2}-4(p^{2}-2p+4)=8p-16\geqslant0$,所以$p\geqslant2$,所以$(p+4)^{2}+13\geqslant(2+4)^{2}+13=49$。

13 已知 $ m $、$ n $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2(a + 1)x + a^{2}+5 = 0 $ 的两个实数根。
(1)若 $ (m - 1)(n - 1)= 28 $,求 $ a $ 的值；
(2)已知等腰 $ \triangle ABC $ 的一边长为 $ 7 $,若 $ m $、$ n $ 恰好是 $ \triangle ABC $ 另外两边的边长,求 $ \triangle ABC $ 的周长。

答案： （1）由根与系数关系得:$m+n=2(a+1)$,$mn=a^{2}+5$。由题意得$(m-1)(n-1)=28$,所以$mn-m-n+1=28$,所以$a^{2}+5-2(a+1)+1=28$,$a^{2}-2a-24=0$,解得$a_{1}=6$,$a_{2}=-4$。由$\Delta\geqslant0$得:$[-2(a+1)]^{2}-4(a^{2}+5)\geqslant0$,解得$a\geqslant2$,所以$a=6$。 （2）分两种情况:① 当$m=7$或$n=7$时,即方程有一根为7,把$x=7$代入方程得:$49-14(a+1)+a^{2}+5=0$,整理得$a^{2}-14a+40=0$,解得$a_{1}=10$,$a_{2}=4$。当$a=10$时,$x_{1}+x_{2}=2(a+1)=22$,解得$x_{2}=15$,而$7+7＜15$,故舍去;当$a=4$时,$x_{1}+x_{2}=2(a+1)=10$,解得$x_{2}=3$,则三角形周长为$3+7+7=17$;② 当$m=n$时,即方程有两个相等实根,$x_{1}=x_{2}$,则$\Delta=0$,$a=2$,方程化为$x^{2}-6x+9=0$,解得$x_{1}=x_{2}=3$,则$3+3＜7$,故舍去。综上所述,这个三角形的周长为17。

14 关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(2k - 1)x + k^{2}-2k + 3 = 0 $ 有两个不相等的实数根。
(1)求实数 $ k $ 的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为 $ x_{1} $、$ x_{2} $,是否存在这样的实数 $ k $,使得 $ |x_{1}|-|x_{2}|= \sqrt{5} $？ 若存在,求出这样的 $ k $ 值；若不存在,说明理由。

答案： （1）因为方程有两个不相等的实数根,所以$\Delta=[-(2k-1)]^{2}-4(k^{2}-2k+3)=4k-11＞0$,解得$k＞\frac{11}{4}$。 （2）存在。因为$x_{1}+x_{2}=2k-1$,$x_{1}x_{2}=k^{2}-2k+3=(k-1)^{2}+2＞0$,所以将$|x_{1}|-|x_{2}|=\sqrt{5}$两边平方可得$x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=5$,即$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=5$。代入,得$(2k-1)^{2}-4(k^{2}-2k+3)=5$,解得$k=4$。