《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

10. 在三角形$ABC$中,$AB = 2\sqrt{5}$,$AC = 4$,$BC = 2$,以$AB为边作等腰直角三角形ABD$,点$D与点C在直线AB$的两侧,则$CD = $______。

答案：
$2\sqrt{10}$或$2\sqrt{13}$或$3\sqrt{2}$ [提示:共有3种情况。因为AC=4,BC=2,$AB=2\sqrt{5}$,所以$AC^2+BC^2=AB^2$,所以$\triangle ACB$为直角三角形,$\angle ACB=90°$。如图①,过点D作$DE \perp CB$,交CB的延长线于点E。因为$DE \perp CB$,所以$\angle BED=\angle ACB=90°$,所以$\angle CAB+\angle CBA=90°$,因为$\triangle ABD$为等腰直角三角形,所以AB=BD,$\angle ABD=90°$,所以$\angle CBA+\angle DBE=90°$,所以$\angle CAB=\angle EBD$,所以$\triangle ACB \cong \triangle BED$,所以BE=AC=4,DE=CB=2。在$Rt\triangle CED$中,$CD=\sqrt{CE^2+ED^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$。如图②,过点D作$DE \perp CA$,交CA的延长线于点E。同理可得$\triangle ACB \cong \triangle DEA$,所以DE=AC=4,AE=BC=2。在$Rt\triangle ECD$中,$CD=\sqrt{DE^2+EC^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$。如图③,过点D作$DE \perp CB$,交CB的延长线于点E,过点A作$AF \perp DE$,交ED的延长线于点F。同理可得$\triangle AFD \cong \triangle DEB$,所以ED=AF,DF=BE。设DF=BE=x,则EC=2+x,AF=DE=4-x,所以2+x=4-x,解得x=1。所以EC=DE=3,所以$CD=3\sqrt{2}$。综上所述,$CD=2\sqrt{10}$或$2\sqrt{13}$或$3\sqrt{2}$。]

11. 已知正方形$ABCD$的边长为4,$E为BC$的中点,$CF= \dfrac{1}{3}DF$。求证：$\triangle AEF$是直角三角形。

答案： 提示:由题意可得,EB=EC=2,FC=1,DF=3,AD=AB=4,所以$AE^2=AB^2+BE^2=20$,$EF^2=FC^2+CE^2=5$,$AF^2=AD^2+DF^2=25$,所以$AF^2=EF^2+AE^2$,所以$\triangle AEF$是直角三角形。

12. 台风登陆某沿海地区。如图,台风中心沿东西方向由点$A向点B$移动,已知点$C$为一海港,且$AC = 300\mathrm{km}$,$BC = 400\mathrm{km}$,$AB = 500\mathrm{km}$。经测量,距离台风中心$260\mathrm{km}$及以内的地区会受到影响。
(1)海港$C$会受到台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为$25\mathrm{km/h}$,则台风影响该海港持续的时间有多长？

答案：
（1）海港C会受台风影响,理由如下:因为AC=300km,BC=400km,AB=500km,所以$AC^2+BC^2=AB^2$,所以$\triangle ABC$是直角三角形,$\angle ACB=90°$。如图,过点C作$CD \perp AB$于点D。因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC \cdot BC=\frac{1}{2}CD \cdot AB$,所以$300 × 400=500 × CD$,所以CD=240km,因为以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域,所以海港C会受到台风影响。（2）如图,分别在AB上取点E和点F,使EC=FC=260km。当台风中心在点E和点F时,正好影响海港C。在$Rt\triangle CDE$中,$\angle CDE=90°$,所以$ED=\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{260^2-240^2}=100(km)$,同理可得DF=100km,所以EF=200km。因为台风的速度为25km/h,$200 ÷ 25=8(h)$,所以台风影响该海港持续的时间为8小时。