《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

13. 如图,在△ABC 中,点 F 在射线 BA 上,点 D 在边 BC 的延长线上,∠ACB = 106°,连接 AD,∠ABC 的平分线交 AD 于点 E,过点 E 作 EH⊥BD,垂足为点 H,连接 CE,且∠CEH = 53°。
(1) 求∠ACE 的度数；
(2) 求证：AE 平分∠CAF；
(3) 若 AC + CD = 16,AB = 10,且 $S_{△ACD}$ = 24,直接写出△ABE 的面积。

答案：
（1）因为∠ACB=106°,所以∠ACD=180°-∠ACB=74°。因为 EH⊥BD，∠CEH=53°,所以∠DCE=90°-∠CEH=37°,所以∠ACE=∠ACD-∠DCE=37°。（2）证明:过点 E 作 EM⊥BF 于点 M,EN⊥AC 于点 N。因为 BE 平分∠ABC,EM⊥BF，EH⊥BD,所以 EM=EH。由（1）可知,∠ACE=∠DCE=37°,所以 CE 平分∠ACD。因为 EN⊥AC，EH⊥CD,所以 EN=EH,所以 EM=EN。又因为点 E 在∠CAF 的内部,所以 AE 平分∠CAF。（3）由
(2)已得:EM=EH=EN,设 EM=EH=EN=x,因为 $S_{\triangle ACD}=24$,所以 $S_{\triangle ACE}+S_{\triangle DCE}=24$,所以 $\frac{1}{2}AC\cdot EN+\frac{1}{2}CD\cdot EH=24$,即 $\frac{1}{2}x(AC+CD)=24$。因为 AC+CD=16,所以 $x=\frac{24× 2}{16}=3$,所以 EM=3。因为 AB=10,所以△ABE 的面积为 $\frac{1}{2}AB\cdot EM=\frac{1}{2}× 10× 3=15$。

14. 如图,在△ABC 中,∠BAC = 60°,△ABC 的两条角平分线 BE 和 CD 相交于点 P,连接 AP。
(1) 求∠BPC 的度数；
(2) 求证：$S_{△PBD} + S_{△PCE} = S_{△PBC}$。

答案：
（1）因为∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∠BAC=60°,所以∠ABC+∠ACB=120°。因为 BE 平分∠ABC,CD 平分∠ACB,所以 $∠PBC=\frac{1}{2}∠ABC$, $∠PCB=\frac{1}{2}∠ACB$,所以 $∠PBC+∠PCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=60^{\circ}$。又因为∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,所以∠BPC=180°-60°=120°。（2）如图,过点 P 作 PH⊥AB 于点 H，PM⊥AC 于点 M,PN⊥BC 于点 N。因为 CD、BE 是△ABC 的角平分线,所以点 P 是△ABC 的内心,所以 AP 平分∠BAC,所以 PH=PM=PN。因为∠BAC+∠PHA+∠PMA+∠MPH=360°,所以∠MPH=360°-90°-90°-60°=120°。由（1）可知,∠DPE=∠BPC=120°,所以∠DPE=∠MPH,所以∠DPE-∠HPE=∠MPH-∠HPE,即∠DPH=∠EPM。在△PHD 和△PME 中,因为 $\left\{\begin{array}{l} ∠DPH=∠EPM,\\ PH=PM,\\ ∠PHD=∠PME,\end{array}\right. $所以△PHD≌△PME(ASA),所以 DH=EM。在△BPH 和△BPN 中,因为 $\left\{\begin{array}{l} ∠HBP=∠NBP,\\ ∠BHP=∠BNP,\\ BP=BP,\end{array}\right. $所以△BPH≌△BPN(AAS),所以 BN=BH,同理可得 CN=CM。因为 BD+CE=(BH-DH)+(CM+EM)=BH+CM=BN+CN=BC,所以 $S_{\triangle PBD}+S_{\triangle PCE}=\frac{1}{2}BD\cdot PH+\frac{1}{2}CE\cdot PM=\frac{1}{2}PN\cdot (BD+CE)=\frac{1}{2}PN\cdot BC=S_{\triangle BPC}$。