《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

12 已知关于$x的二次三项式mx^{2}-(2m - 1)x + m + 1$,问：
(1)当$m$为何值时,该二次三项式在实数范围内能因式分解？
(2)当$m$为何值时,该二次三项式能因式分解成一个完全平方式？这个完全平方式是什么？

答案： （1）因为关于x的二次三项式$mx^{2}-(2m-1)x+m+1$在实数范围内能因式分解，所以$m≠0$，且$\Delta=(2m-1)^{2}-4m(m+1)=-8m+1\geq0$，所以$m\leq\frac{1}{8}$且$m≠0$。（2）因为该二次三项式能因式分解成一个完全平方式，所以$m≠0$且$\Delta=-8m+1=0$，所以$m=\frac{1}{8}$。这个完全平方式为$\frac{1}{8}x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}=\frac{1}{8}(x+3)^{2}$。

13 证明：若关于$x的二次三项式x^{2}+2x-(m + 9)$在实数范围内不能因式分解,则关于$y的二次三项式y^{2}+my - 2m + 5$在实数范围内一定能因式分解。

答案： 因为二次三项式$x^{2}+2x-(m + 9)$在实数范围内不能因式分解，所以$\Delta＜0$，解得$m＜-10$。二次三项式$y^{2}+my - 2m + 5$的判别式$\Delta=m^{2}+8m-20=(m+4)^{2}-36$，因为$m＜-10$，所以$(m+4)^{2}-36＞0$，所以关于y的二次三项式$y^{2}+my - 2m + 5$在实数范围内一定能因式分解。

14 在实数范围内分解因式：$(x - 3)(x - 1)(x + 2)(x + 4)+24$。

答案： 原式$=[(x-3)(x+4)][(x-1)(x+2)]+24=(x^{2}+x-12)(x^{2}+x-2)+24$，设$x^{2}+x=m$，则原式$=(m-12)(m-2)+24=m^{2}-14m+48=(m-6)(m-8)=(x^{2}+x-6)(x^{2}+x-8)=(x-2)(x+3)(x^{2}+x-8)=(x-2)(x+3)\left(x-\frac{-1+\sqrt{33}}{2}\right)\left(x+\frac{1+\sqrt{33}}{2}\right)$