《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

10. 在长方形$ABCD$中,$BC = 2\sqrt{2}$,点$E是AD$的中点,将$\triangle ABE沿BE折叠后得到\triangle GBE$,延长$BG交射线DC于点F$,若$CD = 2CF$,则$AB$的长为______。

答案：
2 或 $\frac{2}{3}\sqrt{3}$ [提示:设$AB=DC=x(x＞0)$,因为$CD=2CF$,所以$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}x$,分两种情况:① 当点 F 在线段 DC 上时,连接 EF,如图①。根据翻折的性质可得,$BG=BA=x$,$\angle BGE=\angle BAE=90°$,$AE=GE$,所以$\angle EGF=180°-\angle BGE=90°$。因为点 E 是 AD 的中点,所以$AE=DE$,所以$GE=DE$。在 Rt△EGF 和 Rt△EDF 中,因为$\left\{\begin{array}{l} GE=DE,\\ EF=EF,\end{array}\right.$所以 Rt△EGF≌Rt△EDF(HL),所以$GF=DF$。因为$DF=CD-CF=x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$,所以$GF=\frac{1}{2}x$,$BF=BG+GF=x+\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x$。在 Rt△BCF中,$\angle BCF=90°$,所以$BC^2+CF^2=BF^2$,即$(2\sqrt{2})^2+(\frac{1}{2}x)^2=(\frac{3}{2}x)^2$,解得$x_1=2$,$x_2=-2$(舍去),所以此时 AB 的长为 2。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
② 当点 F 在线段 DC 的延长线上时,连接 EF,如图②。同理可得 Rt△EGF≌Rt△EDF(HL),所以$GF=DF$。因为$DF=CD+CF=x+\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x$,所以$GF=\frac{3}{2}x$,$BF=BG+GF=x+\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}x$。在 Rt△BCF 中,$\angle BCF=90°$,所以$BC^2+CF^2=BF^2$,即$(2\sqrt{2})^2+(\frac{1}{2}x)^2=(\frac{5}{2}x)^2$,解得$x_1=\frac{2}{3}\sqrt{3}$,$x_2=-\frac{2}{3}\sqrt{3}$(舍去),所以此时 AB 的长为$\frac{2}{3}\sqrt{3}$。综上所述,AB 的长为 2 或$\frac{2}{3}\sqrt{3}$。
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11. 如图,在长方形$ABCD$中,$AB = 8cm$,$BC = 10cm$,沿$AE$折叠,使点$D落在边BC上的F$处,求$EC$的长。

答案： 由△ADE≌△AFE,得$AD=AF=10$,设$CE=x$,则$DE=EF=8-x$,在 Rt△ABF 中,$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,所以$CF=10-6=4$,因此,在 Rt△EFC 中,$EF^2=EC^2+FC^2$,即$(8-x)^2=x^2+4^2$,解得$x=3$,所以$EC=3$。

12. 如图,在长方形$ABCD$中,$E是AD$的中点,将$\triangle ABE沿直线BE折叠后得到\triangle GBE$,延长$BG交CD于点F$,连接$EF$。若$AB = 6$,$BC = \sqrt{96}$,求$FD$的长。

答案： 易证 Rt△EDF≌Rt△EGF(HL),所以$DF=GF$。设$DF=x$,则$BF=6+x$,$CF=6-x$。由勾股定理,得$(\sqrt{96})^2+(6-x)^2=(6+x)^2$,解得$x=4$,所以$FD=4$。