《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

12 若 $ x $、$ y $ 为实数,且 $ y = \frac{\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{4 - x^2} + 1}{x + 2} $,求 $ \sqrt{x + y} \cdot \sqrt{x - y} $ 的值。

答案： $x=2$，$y=\frac{1}{4}$，原式$=\sqrt{2+\frac{1}{4}}\cdot\sqrt{2-\frac{1}{4}}=\frac{3\sqrt{7}}{4}$。

13 已知 $ x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $,$ y = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} $,求 $ x^2 + xy + y^2 $ 的值。

答案： 原式$=(x+y)^{2}-xy=\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{2}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}×\frac{\sqrt{5}+1}{2}=5-1=4$。

14 求 $ \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}} $ 的值。阅读下列解题步骤：
解：设 $ x = \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}} $,
两边平方,得 $ x^2 = (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 + (\sqrt{3 - \sqrt{5}})^2 + 2\sqrt{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} $,
即 $ x^2 = 3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} + 4 = 10 $,
所以 $ x = \pm \sqrt{10} $。
因为 $ \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}} ＞ 0 $,
所以 $ \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{10} $。
请仿照上述方法,求 $ \sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{4 - \sqrt{7}} $ 的值。

答案： 设$x=\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}$，两边平方，得$x^{2}=(\sqrt{4+\sqrt{7}})^{2}+(\sqrt{4-\sqrt{7}})^{2}+2\sqrt{4+\sqrt{7}}×\sqrt{4-\sqrt{7}}$，即$x^{2}=4+\sqrt{7}+4-\sqrt{7}+6=14$，所以$x=\pm\sqrt{14}$。因为$\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}＞0$，所以$\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}=\sqrt{14}$。