《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

8. 在$\triangle ABC$中,$\angle C= 35^{\circ}$,$\angle B= 120^{\circ}$,将$\triangle ABC绕点A$顺时针旋转后(旋转角$0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$),点$B与点B'$对应,点$C与点C'$对应。若$C'B'与AC$垂直,则旋转角$\alpha$的度数为______。

答案： 55°

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,$DG\perp BC且平分BC$,$DE\perp AB于点E$,$DF\perp AC于点F$。如果$AB= 5$,$AC= 3$,则$AE= $______。

答案： 4

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle B= 32^{\circ}$,点$M$、$N分别在AB$、$BC$边上,将$\triangle BMN沿MN$折叠,使点$B落在直线AC上的点B'$处,当$\triangle AB'M$为直角三角形时,$\angle BMN$的度数为______。

答案： 74°或45° [提示:①当∠AB'M=90°时,因为∠C=90°,所以∠AB'M=∠C,所以B'M//BC,所以∠AMB'=∠B=32°,所以∠BMB'=148°。由折叠的性质可得∠BMN=∠B'MN=$\frac{1}{2}$∠BMB'=74°。②当∠AMB'=90°时,∠BMB'=90°,由折叠的性质可得∠BMN=∠B'MN=$\frac{1}{2}$∠BMB'=45°。综上,∠BMN的度数为74°或45°。]

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$CD垂直平分AB$,延长$AC至点E$,使$CE= AC$,连接$BE$。
(1)求证：$\triangle ABE$是直角三角形；
(2)取边$EB上一点F$,连接$CF$。若$\angle ECF= \angle A$,证明：点$F是EB$的中点。

答案：
(1)因为CD垂直平分AB,所以CA=CB,所以∠A=∠CBA。因为CA=CB,CE=AC,所以CE=CB,所以∠CBE=∠E。在△ABE中,∠A+∠ABC+∠CBE+∠E=180°,所以2∠A+2∠E=180°,即∠A+∠E=90°,所以△ABE是直角三角形。
(2)因为∠ECF=∠A,所以CF//AB,所以∠ABE=∠CFE=90°,即CF⊥EB。又因为CB=CE,所以F是EB的中点。

12. 如图,点$O是等边\triangle ABC$内一点,$\angle AOB= 110^{\circ}$,$\angle BOC= \alpha$。以$OC为一边作等边三角形OCD$,连接$AC$、$AD$。
(1)当$\alpha=150^{\circ}$时,试判断$\triangle AOD$的形状,并说明理由；
(2)探究：当$\alpha$为多少度时,$\triangle AOD$是等腰三角形？

答案：
(1)△AOD是直角三角形。理由如下:因为△ABC和△OCD是等边三角形,所以BC=AC,OC=CD,∠ACB=∠DCO=∠ODC=60°。所以∠ACB - ∠ACO=∠DCO - ∠ACO,即∠BCO=∠ACD。在△BOC和△ADC中,因为$\begin{cases}OC = DC\\∠BCO = ∠ACD\\BC = AC\end{cases}$,所以△BOC≌△ADC(SAS),所以∠BOC=∠ADC。因为∠BOC=α=150°,所以∠ADC=150°。又因为∠ODC=60°,所以∠ADO=150° - 60°=90°。所以△AOD是直角三角形。
(2)因为∠BOC=∠ADC=α,∠COD=∠CDO=60°,所以∠AOD=360° - ∠AOB - ∠COD - ∠BOC=190° - α,∠ADO=∠ADC - ∠CDO=α - 60°,所以∠OAD=180° - ∠AOD - ∠ADO=50°。分三种情况讨论:①当AO=AD时,∠AOD=∠ADO,所以190° - α=α - 60°,所以α=125°。②当AO=OD时,∠OAD=∠ODA,所以50°=α - 60°,所以α=110°。③当OD=AD时,∠OAD=∠AOD,所以50°=190° - α,所以α=140°。综上所述,当α=125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形。