《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

12. 一块长方形空地的面积为 $ 1215m^{2} $,其长与宽的比为 $ 5:3 $。求这块长方形空地的周长。

答案： 因为长与宽的比为$5:3$，则可设长为$5x\,m$，宽为$3x\,m$。由题意得$5x\cdot 3x=1215$，$x^{2}=81$，解得$x_{1}=9$，$x_{2}=-9$（不符合题意，舍去）。所以$5x=45$，$3x=27$。所以该长方形空地的周长为$(45+27)× 2=144(m)$。

13. 已知 $ \sqrt{2a - 1} $ 的算术平方根是 $ 2 $,$ 2a + b + 2 $ 的算术平方根是 $ 5 $,求 $ 2a - b $ 的值。

答案： 因为$\sqrt{2a - 1}$的算术平方根是$2$，所以$\sqrt{2a - 1}=4$，所以$2a - 1=16$，所以$2a=17$。因为$2a + b + 2$的算术平方根是$5$，所以$2a + b + 2=25$，所以$b=6$。所以$2a - b=17 - 6=11$。

14. 定义：对于三个正整数,若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“和谐组合”,其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”,最大的整数称为“最大算术平方根”。例如：$ 1 $、$ 4 $、$ 9 $ 这三个数,$ \sqrt{1×4} = 2 $,$ \sqrt{1×9} = 3 $,$ \sqrt{4×9} = 6 $,其结果分别为 $ 2 $、$ 3 $、$ 6 $,都是整数,所以 $ 1 $、$ 4 $、$ 9 $ 这三个数称为“和谐组合”,其中最小算术平方根是 $ 2 $,最大算术平方根是 $ 6 $。
(1) 请直接判断 $ 3 $、$ 12 $、$ 32 $ 是不是“和谐组合”；
(2) 请证明 $ 2 $、$ 18 $、$ 8 $ 这三个数是“和谐组合”,并求出最小算术平方根和最大算术平方根；
(3) 已知 $ 9 $、$ a $、$ 25 $ 这三个数是“和谐组合”,且最大算术平方根是最小算术平方根的 $ 3 $ 倍,求 $ a $ 的值。

答案：
(1)不是　
(2)因为$\sqrt{2× 18}=6$，$\sqrt{2× 8}=4$，$\sqrt{18× 8}=12$，所以2、18、8这三个数是“和谐组合”，所以最小算术平方根是4，最大算术平方根是12。　
(3)在三个算术平方根$\sqrt{9a}$、$\sqrt{25a}$、$\sqrt{9× 25}=15$中，因为$a$为正整数，所以$\sqrt{25a}＞\sqrt{9a}$，所以有以下三种情况：① 当$15＞\sqrt{25a}$，即$a＜9$时，$3\sqrt{9a}=15$，解得$a=\frac{25}{9}$（舍去）。② 当$\sqrt{9a}＞15$，即$a＞25$时，$\sqrt{25a}=15× 3$，解得$a=81$。③ 当$\sqrt{9a}＜15＜\sqrt{25a}$，即$9＜a＜25$时，$3\sqrt{9a}=\sqrt{25a}$，解得$a=0$（舍去）。综上所述，$a$的值为81。