《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

13. 如图是小宇所在的小组在学校组织的研学活动中合作搭建的帐篷的支架示意图。在 $ \triangle ABC $ 中,帐篷的顶点为 $ A $,点 $ B $、$ D $、$ E $、$ C $ 在地面上的同一水平线上,$ AB $、$ AC $、$ AD $、$ AE $ 均为支架,且 $ AD \perp BC $,$ AE = CE $。经测量知,$ AB = 1.5 \mathrm{m} $,$ AD = 1.2 \mathrm{m} $,$ CD = 1.6 \mathrm{m} $。
(1)求 $ DE $ 的长；
(2)当帐篷支架 $ AB $ 与 $ AC $ 所成的角度为直角时,帐篷最为稳定。请你通过计算说明该小组搭建的帐篷是否最为稳定。

答案：
(1)设$AE = x m$,则$CE = AE = x m$，$ED = CD - CE = (1.6 - x) m$。因为$AD \perp BC$,所以$\angle ADC = \angle ADB = 90^{\circ}$。在$Rt\triangle ADE$中,因为$\angle ADE = 90^{\circ}$,所以$AD^{2}+ED^{2}=AE^{2}$,所以$1.2^{2}+(1.6 - x)^{2}=x^{2}$,解得$x = 1.25$。所以$DE = 1.6 - x = 1.6 - 1.25 = 0.35(m)$,所以DE的长为0.35m。
(2)在$Rt\triangle ABD$中,因为$\angle ADB = 90^{\circ}$,所以$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{1.5^{2}-1.2^{2}}=0.9(m)$。在$Rt\triangle ADC$中,因为$\angle ADC = 90^{\circ}$,所以$AC=\sqrt{CD^{2}+AD^{2}}=\sqrt{1.6^{2}+1.2^{2}}=2(m)$,所以$BC = BD + CD = 2.5m$。因为$AB^{2}+AC^{2}=2^{2}+1.5^{2}=6.25$,$BC^{2}=2.5^{2}=6.25$,所以$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$,所以$\triangle ABC$是直角三角形,$\angle BAC = 90^{\circ}$,所以该小组搭建的帐篷最为稳定。