《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

13. 阅读下面材料,并解决问题：
(1)如图①,等边$\triangle ABC内有一点P$,若点$P到顶点A$、$B$、$C$的距离分别为3、4、5,求$\angle APB$的度数。(提示：为了解决本题,我们可以将$\triangle ABP绕顶点A旋转到\triangle ACP'$处,连接$PP'$,此时$\triangle ACP'\cong\triangle ABP$,这样就可以利用旋转变换,将三条线段$PA$、$PB$、$PC$转化到一个三角形中)
(2)请你利用(1)中的思想方法,解答下面问题：
如图②,在$\triangle ABC$中,$\angle CAB = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$E$、$F为边BC上的点且\angle EAF = 45^{\circ}$,求证：$EF^{2}= BE^{2}+FC^{2}$。
(3)如图③,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 1$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,点$O为\mathrm{Rt}\triangle ABC$内一点,连接$AO$、$BO$、$CO$,且$\angle AOC = \angle COB = \angle BOA = 120^{\circ}$,求$OA + OB + OC$的值。

答案：
（1）由旋转的性质,可得$\triangle APB \cong \triangle AP'C$,所以PA=P'A=3,PB=P'C=4,$\angle APB=\angle AP'C$,$\angle BAP=\angle CAP'$。因为$\triangle ABC$是等边三角形,所以$\angle BAC=\angle BAP+\angle PAC=60°$,所以$\angle CAP'+\angle PAC=60°$,即$\angle PAP'=60°$,所以$\triangle PAP'$是等边三角形,所以PA=PP'=3。因为$PP'^2=3^2=9$,$PC^2=5^2=25$,$P'C^2=4^2=16$,所以$PC^2=PP'^2+P'C^2$,所以$\triangle PP'C$是直角三角形,$\angle PP'C=90°$,所以$\angle AP'C=\angle PP'C+\angle AP'P=90°+60°=150°$,所以$\angle APB=150°$。
（2）如图①,将$\triangle ABE$绕点A逆时针旋转90°得到$\triangle ACE'$。由旋转的性质,可得$\triangle AEB \cong \triangle AE'C$,$\angle EAE'=90°$,所以AE'=AE,CE'=BE,$\angle CAE'=\angle BAE$,$\angle ACE'=\angle B$。因为$\angle EAF=45°$,所以$\angle E'AF=\angle CAE'+\angle CAF=\angle BAE+\angle CAF=\angle BAC-\angle EAF=90°-45°=45°$,所以$\angle EAF=\angle E'AF$。在$\triangle EAF$和$\triangle E'AF$中,因为$\begin{cases} AE=AE', \\ \angle EAF=\angle E'AF, \\ AF=AF, \end{cases}$所以$\triangle EAF \cong \triangle E'AF(SAS)$,所以E'F=EF。因为$\angle CAB=90°$,AB=AC,所以$\angle B=\angle ACB=45°$,所以$\angle E'CF=\angle ACB+\angle E'CA=\angle ACB+\angle B=45°+45°=90°$。在$Rt\triangle E'FC$中,$\angle E'CF=90°$,所以$E'F^2=CE'^2+FC^2$,所以$EF^2=BE^2+FC^2$。
（3）如图②,将$\triangle AOB$绕点B顺时针旋转60°至$\triangle A'O'B$处,连接OO',取AB中点D,连接CD。因为在$Rt\triangle ABC$中,点D是AB中点,所以$AD=CD=\frac{1}{2}AB$。又因为$\angle ABC=30°$,所以$\angle BAC=90°-\angle ABC=60°$,所以$\triangle ACD$是等边三角形,所以$AC=AD=\frac{1}{2}AB$,所以AB=2,$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{3}$。由旋转的性质,可得$\triangle AOB \cong \triangle A'O'B$,$\angle O'BO=\angle ABA'=60°$,所以BO=BO',A'B=AB=2,OA=O'A',$∠A'O'B=∠AOB=120°$,所以$\triangle OBO'$是等边三角形,所以$\angle BOO'=\angle BO'O=60°$,OB=OO'。因为$\angle BOC=\angle AOB=∠A'O'B=120°$,所以$\angle A'O'O=∠A'O'B+\angle BO'O=180°$,$\angle COO'=\angle BOC+\angle BOO'=180°$,所以C、O、O'、A'四点共线。因为$\angle A'BC=\angle A'BA+\angle ABC=60°+30°=90°$,在$Rt\triangle A'BC$中,$A'C=\sqrt{BC^2+BA'^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{7}$,所以$OA+OB+OC=O'A'+OO'+OC=A'C=\sqrt{7}$。