《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版54制》

1. 已知$a= \frac{1}{2-\sqrt{3}}$,$b= \frac{1}{2+\sqrt{3}}$,则$a与b$的关系正确的是( )。

A.$a - b = 0$
B.$a + b = 0$
C.$ab = 1$
D.$a^{2}= b^{2}$

答案： C

2. 下列各式不成立的是( )。

A.$\sqrt{18}-\sqrt{\frac{8}{9}}= \frac{7}{3}\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2+\frac{2}{3}}= 2\sqrt{\frac{2}{3}}$
C.$\frac{\sqrt{8}+\sqrt{18}}{2}= \sqrt{4}+\sqrt{9}= 5$
D.$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}= \sqrt{3}-\sqrt{2}$

答案： C

3. 如图,数轴上与$1$、$\sqrt{2}对应的点分别为A$、$B$,点$B关于点A的对称点为点C$,设点$C表示的数为x$,则$\vert x-\sqrt{2}\vert+\frac{2}{x} = $( )。


A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$2$

答案： C

4. $\sqrt{x}+\sqrt{y}$的一个有理化因式为______,$\sqrt{x + y}$的一个有理化因式为______。

答案： $\sqrt{x}-\sqrt{y},\sqrt{x+y}$（答案不唯一）

5. 已知实数$x$、$y满足x^{2}+y^{2}-4x - 2y = - 5$,则$\frac{\sqrt{x}+y}{3y - 2\sqrt{x}}$的值为______。

答案： $5\sqrt{2}+7$

6. 已知$a= \frac{1}{\sqrt{5}+2}$,则代数式$a^{3}+4a^{2}-a + 6$的值是______。

答案： 6

7. 设$\frac{1}{3-\sqrt{7}}的整数部分是a$,小数部分是$b$,则$a^{2}+(1+\sqrt{7})ab$的值是______。

答案： 10

8. 若两个代数式$M与N满足M\cdot N = - 1$,则称这两个代数式互为友好因式,则$\sqrt{3}+\sqrt{5}$的友好因式是______。

答案： $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$

9. 已知$a$为实数,且$a + 2\sqrt{6}与\frac{1}{a}-2\sqrt{6}$都是整数,则$a$的值为______。

答案： $5-2\sqrt{6}$或$-5-2\sqrt{6}$［提示：因为$a+2\sqrt{6}$是整数，所以可设$a=x-2\sqrt{6}$（$x$为整数）。此时$\frac{1}{a}=\frac{1}{x-2\sqrt{6}}=\frac{x+2\sqrt{6}}{x^2-24}=\frac{x}{x^2-24}+\frac{1}{x^2-24}\cdot2\sqrt{6}$，因为$\frac{1}{a}-2\sqrt{6}$是整数，所以$x^2-24=1$，即$x=5$或$x=-5$，所以$a=5-2\sqrt{6}$或$-5-2\sqrt{6}$。］

10. 关于$x的方程3x-\frac{1}{2}= \frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+…+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}$的解是______。

答案： $x=\frac{\sqrt{11}}{2}$［提示：$3x-\frac{1}{2}=\frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}$，$3x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}+\cdots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{(\sqrt{99}+\sqrt{97})(\sqrt{99}-\sqrt{97})}$，$3x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\cdots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{2}$，$3x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{99}-1}{2}$，$6x-1=\sqrt{99}-1$，$6x=3\sqrt{11}$，所以$x=\frac{\sqrt{11}}{2}$。］